两个反比例函数y=$\frac{k}{x}$和y=$\frac{1}{x}$在第一象限内的图象如图所示.点P在y=$\frac{k}{x}$的图象上.PC⊥x轴于点C.交y=$\frac{1}{x}$的图象于点A.PD⊥y轴于点D.交y=$\frac{1}{x}$的图象于点B．当点P在y=$\frac{k}{x}$的图象上运动时.以下结论:①S△ODB=S△OCA②S四边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．

两个反比例函数y=$\frac{k}{x}$和y=$\frac{1}{x}$在第一象限内的图象如图所示，点P在y=$\frac{k}{x}$的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=$\frac{1}{x}$的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=$\frac{1}{x}$的图象于点B．当点P在y=$\frac{k}{x}$的图象上运动时，以下结论：
①S_△ODB=S_△OCA
②S_{四边形PAOB}的值不会发生变化
③PA与PB始终相等
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．
其中一定不正确的是（　　）

A．

①

B．

②

C．

③

D．

④

分析 ①由点A、B均在反比例函数y=$\frac{1}{x}$的图象上，利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S_△ODB=S_△OCA，结论①正确；②利用分割图形求面积法即可得出S_{四边形PAOB}=k-1，结论②正确；③设点P的坐标为（m，$\frac{k}{m}$），则点B的坐标（$\frac{m}{k}$，$\frac{k}{m}$），点A（m，$\frac{1}{m}$），求出PA、PB的长度，由此可得出PA与PB的关系无法确定，结论③错误；④设点P的坐标为（m，$\frac{k}{m}$），则点B的坐标（$\frac{m}{k}$，$\frac{k}{m}$），点A（m，$\frac{1}{m}$），由点A是PC的中点可得出k=2，将其带入点P、B的坐标即可得出点B是PD的中点，结论④正确．此题得解．

解答解：①∵点A、B均在反比例函数y=$\frac{1}{x}$的图象上，且BD⊥y轴，AC⊥x轴，
∴S_△ODB=$\frac{1}{2}$，S_△OCA=$\frac{1}{2}$，
∴S_△ODB=S_△OCA，结论①正确；
②∵点P在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，且PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴S_矩形OCPD=k，
∴S_{四边形PAOB}=S_矩形OCPD-S_△ODB-S_△OCA=k-1，结论②正确；
③设点P的坐标为（m，$\frac{k}{m}$），则点B的坐标（$\frac{m}{k}$，$\frac{k}{m}$），点A（m，$\frac{1}{m}$），
∴PA=$\frac{k}{m}$-$\frac{1}{m}$=$\frac{k-1}{m}$，PB=m-$\frac{m}{k}$=$\frac{mk-m}{k}$，
∴PA与PB的关系无法确定，结论③错误；
④设点P的坐标为（m，$\frac{k}{m}$），则点B的坐标（$\frac{m}{k}$，$\frac{k}{m}$），点A（m，$\frac{1}{m}$），
∵点A是PC的中点，
∴k=2，
∴P（m，$\frac{2}{m}$），B（$\frac{m}{2}$，$\frac{2}{m}$），
∴点B是PD的中点，结论④正确．
故选C．