Question

如图△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于点K，过点A作⊙O的切线交CB的延长线于点E
（1）求证：∠EAB=∠ACE；
（2）连接BD，若∠E=∠DAB，

BK

BD

=

3

5

，DK=2

5

，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）过A作⊙O的直径，交⊙O于F，连接CF，由圆周角定理和切线的性质可证得结论；
（2）连接CD交AF于G，由条件可证明△ABK∽△CDK∽△ADC，且都是等腰三角形，利用相似三角形的性质可求得CD，进一步可求得AF，可求得半径．

解答：（1）证明：如图1，过A作⊙O的直径，交⊙O于F，连接CF，

∵AF是直径，
∴∠ACF=90°，即∠ACB+∠BCF=90°，
∵∠BAF与∠BCF同弧BF，
∴∠BAF=∠BCF，
∴∠ACE+∠BAF=90°
∵AE为⊙O的切线，
∴∠EAB+∠BAF=90°，
∴∠EAB=∠ACE；
（2）解：如图2，连接CD交AF于G，

∵AD平分∠BAC，∠E=∠BAD，
∴BD=CD，∠BAD=∠DAC=∠E，
∵∠EAB=∠ACE，
而∠BAK=∠EAB+∠BAD，∠AKB=∠ACB+∠KAC，
∴∠BAK=∠AKB，即△ABK是等腰三角形，
∵∠ABC和∠ADC同弧AC，
∴∠ABC=∠ADC，
∴△ABK∽△CDK∽△ADC，且都是等腰三角形，
∴CK=CD=BD，AD=AC，
∵

BK

BD

=

3

5

，
∴

AK

AD

=

BK

CD

=

3

5

，
∵DK=2

5

，
∴AK=3

5

，AD=5

5

，
∵

CD

DK

=

AD

CD

∴CD=5

2

∵△ADC是等腰三角形，AF是直径，
∴AF⊥CD，CG=DG=

5 2

2

，
∴根据勾股定理AG=

15 2

2

，
∵△AFC∽△ACG，
∴

AF

AC

=

AC

AG

，
∴AF=

25 2

3

，
∴⊙O的半径为

25 2

6

．

点评：本题主要考查切线的性质及圆周角定理、相似三角形的判定和性质，在（1）中作出过A的直径，构造垂直找到角之间的关系，在（2）中作出直径证明△ABK∽△CDK∽△ADC，且都是等腰三角形，求得AF是解题的关键．