Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，⊙O与边BC，CD相切，现有一条过点B的直线与⊙O相切于点E，连接BE，△ABE恰为等边三角形，则⊙O的半径为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,矩形的性质

专题：

分析：作OG⊥BC于G，OH⊥CD于H，求得四边形OGCH是正方形，得出OG=GC，根据BE=AB=3，结合切线的性质得出BG=BE=3，从而求得GC=1，即可求得⊙O的半径为1．

解答：解：作OG⊥BC于G，OH⊥CD于H，
∵在矩形ABCD中，∠C=90°，
∴四边形OGCH是矩形，
∵⊙O与边BC，CD相切，
∴G、H分别是BC，CD的切点，
∴OG=OH，
∴四边形OGCH是正方形，
∴OG=GC，
∵△ABE为等边三角形，
∴BE=AB=3，
∵⊙O与边BC，CD相切，
∴G、H分别是BC，CD的切点，
∴OG=OH，
∵BE、BG是⊙O的切线，
∴BG=BE=3，
∵BC=AD=4，
∴CG=4-3=1，
∴OG=1，
∴⊙O的半径为1．
故答案为1．

点评：本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，切线的性质等，作出辅助线证得四边形OGCH是正方形是解题的关键．