Question

2．你能化简（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手，然后归纳出一些方法．
（1）分别化简下列各式：
①（x-1）（x+1）=x²-1；
②（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
③（x-1）（x³+x²+1）=x⁴-1；
…
由此我们可以得到：（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）=x¹⁰⁰-1．
（2）请你利用上面的结论计算：2⁹⁹+2⁹⁸+2⁹⁷+…+2+1．

Answer 1

分析 （1）归纳总结得到规律，写出结果即可；
（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．

解答 解：（1）①（x-1）（x+1）=x²-1；
②（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
③（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
…
（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+…+x+1）=x¹⁰⁰-1；

（2）2⁹⁹+2⁹⁸+…+2+1=（2-1）×（2⁹⁹+2⁹⁸+…+2+1）=2¹⁰⁰-1．
故答案为：（1）①x²-1；②x³-1；③x⁴-1；x¹⁰⁰-1．

点评 此题考查了运用平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．熟练掌握运算法则是解本题的关键．