Question

17．一棵大树AB（假定大树AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断在地上，树的顶部恰好接触到地面D处（如示意图所示），量得大树的倾斜角∠BAC=15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC=60°，AD=4米，求大树AB原来的高度是多少米？（结果保留整数，参考数据：$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7，$\sqrt{6}$≈2.4）

Answer 1

分析 过点A作AE⊥CD于点E，先由直角三角形的性质求出∠DAC与∠DAE的度数，再由锐角三角函数的定义求出AE及DE的长，在Rt△ACE中，根据AC=$\frac{CE}{sin45°}$即可得出结论．

解答 解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，
∵∠BAD=90°，∠BAC=15°
∴∠DAC=∠BAD-∠BAC=75°，
∵∠ADC=60°，∠AED=90°，
∴∠DAE=90°-∠ADC=30°．
在Rt△ADE中，AE=AD•sin60°=2$\sqrt{3}$，
DE=AD•cos60°=4•cos60°=2．
在Rt△ACE中，
∵∠CAE=∠DAC-∠DAE=45°，
∴CE=AE•tan45°=2$\sqrt{3}$，
∴AC=$\frac{CE}{sin45°}$=2$\sqrt{6}$，
AB=AC+CE+DE=2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{3}$+2≈10（米），
即大树AB原来的高度约为10米．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．