Question

6．如图，在△ABC中，点D为BC上一点，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，AD=DC，连结DE．
（1）求证：AB=AC；
（2）若sinE=$\frac{1}{3}$，AC=4$\sqrt{2}$a，求△ADE的周长（用含a的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C，由切线的性质得到∠DAC=∠B，于是得到结论；
（2）过A作AF⊥BC于F，∵sinB=sinE=$\frac{1}{3}$，AB=AC=4$\sqrt{2}$a，设AF=k，BF=3k，求得AF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$a，CF=BF=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$a，设CD=AD=x，则DF=$\frac{12\sqrt{5}}{5}a$-x，根据勾股定理得到AD=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$a，DF=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$a-$\frac{4\sqrt{5}}{3}$a=$\frac{16\sqrt{5}}{15}$a，于是得到结论．

解答 （1）证明∵AD=DC，
∴∠DAC=∠C，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠DAC=∠B，
∴∠C=∠B，
∴AB=AC；
（2）解：过A作AF⊥BC于F，
∵sinB=sinE=$\frac{1}{3}$，AB=AC=4$\sqrt{2}$a，
∴设AF=k，BF=3k，
∴AB=$\sqrt{10}$k，
∴$\sqrt{10}$k=4$\sqrt{2}$a，
∴k=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$a，
∴AF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$a，CF=BF=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$a，
设CD=AD=x，则DF=$\frac{12\sqrt{5}}{5}a$-x，
∵AD²=DF²+AF²，
∴x²=（$\frac{12\sqrt{5}}{5}$a-x）²+（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$a）²，
∴x=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$a，
∴AD=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$a，DF=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$a-$\frac{4\sqrt{5}}{3}$a=$\frac{16\sqrt{5}}{15}$a，
∴△ADE的周长=4$\sqrt{2}$a+$\frac{24\sqrt{5}}{5}$a．

点评 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的周长的计算，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．