Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF=BC．⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．
（1）求证：△ABC≌△EBF；
（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=1，求HG•HB的值．

Answer 1

分析 （1）根据ASA或AAS即可证明；
（2）结论：BD与⊙O相切．  连接OB，只要证明OB⊥BD即可；
（3）连接EH，首先证明△GHF∽△FHB，可得$\frac{HF}{HB}$=$\frac{HG}{HF}$，即HG•HB=HF²，想办法求出HF²即可解决问题．

解答 （1）∵DF⊥AC，△ABC为Rt△，
∴∠CDE=∠EBF=90°
∵∠CED=∠FEB，
∴∠DCE=∠EFB，
在△ABC和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠EFB}\\{BC=BF}\\{∠ABC=∠EBF=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EBF，（ASA）．

（2）结论：BD与⊙O相切．  
理由：连接OB，
∵DF是AB的中垂线，∠ABC=90°，
∴DB=DC=DA，
∴∠DBC=∠C．
由（1）∠DCB=∠EFB，而∠EFB=∠OBF，
∴∠DBC=∠OBF，
∴∠DBO=∠DBC+∠EBO=∠OBF+∠EBO=90°，
∴DB⊥OB，
∴BD与⊙O相切．

（3）连接EH，
∵BH是∠EBF的平分线，
∴∠EBH=∠HBF=45°．∠HFE=∠HBE=45°．
又∠GHF=∠FHB，
∴△GHF∽△FHB，
∴$\frac{HF}{HB}$=$\frac{HG}{HF}$，
∴HG•HB=HF²，
∵⊙O是Rt△BEF的内接圆，
∴EF为⊙O的直径，
∴∠EHF=90°，
又∠HFE=45°，
∴EH=HF，
∴EF²=EH²+HF²=2HF²，
在Rt△ABC中，AB=1，tan∠C=$\frac{1}{2}$，
∴BC=2，AC=$\sqrt{A{B^2}+BC{\;}^2}=\sqrt{{1^2}+{2^2}}=\sqrt{5}$，
由（1）知△ABC≌△EBF，
∴EF=AC=$\sqrt{5}$，
∴2HF²=EF²=5，
∴HF²=$\frac{5}{2}$，
故HG•HB=HF²=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查圆综合题、切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确相似三角形解决问题，属于中考压轴题．