Question

18．已知：AB为⊙0的直径，CD、CF为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，CF交AB于点G．
（1）如图1，连接OD、OF、DG，求证：∠DOF=∠DGF；
（2）如图2，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点H，点M在弧BC上，连接 CM、OM，若∠H=∠M，∠BGF=30°，求证：CM=CG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接FM（FM＜CM），若FG=CE=4，求FM的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，由直径AB垂直于点CD，利用垂径定理得到CE=DE，进而确定出CG=DG，利用等边对等角，圆周角定理，及外角性质，等量代换即可得证；
（2）如图2，连接OC，过O作OK⊥CM，利用垂径定理得到CK=MK，在直角三角形CEG中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到2CE=CG，由CH与圆相切，得到OC与CH垂直，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，OC=OC，得到三角形OCE与三角形OCK全等，利用全等三角形的对应边相等得到CK=CE，等量代换即可得证；
（3）如图3，过点O作ON⊥CF，则有CN=NF=$\frac{1}{2}$CF，由CG=2CE，求出CE长，利用锐角三角函数定义求出EG的长，进而求出ON与OG的长，以及OE的长，利用勾股定理求出CO的长，由三角形OEC与三角形OKC全等，得到对应角相等，进而求出RM的长，由FR-RM求出FM的长即可．

解答 （1）证明：如图1，

∵AB为圆O的直径，CD为圆O的弦，且AB⊥CD，
∴CE=DE，
∴GC=GD，
∴∠C=∠GDC，
∴∠DGF=∠C+∠GDC=2∠C，
∵∠DOF=2∠C，
∴∠DOF=∠DGF；
（2）证明：如图2，连接OC，过O作OK⊥CM，则有CK=KM=$\frac{1}{2}$CM，

在Rt△CEG中，∠CGE=∠BGF=30°，
∴CE=$\frac{1}{2}$CG，
∵CH与圆O相切，
∴OC⊥CH，
∴∠HCE+∠ECO=90°，
∵∠H+∠HCE=∠CEO=90°，
∴∠H=∠ECO=∠M，
∵OM=OC，
∴∠M=∠OCM=∠ECO，
∵OC=OC，∠OKC=∠OEC=90°，
∴△OKC≌△OEC，
∴CK=CE，
∴CM=CG；
（3）解：如图3，过点O作ON⊥CF，则有CN=NF=$\frac{1}{2}$CF，

∵FG=CE=4，
∴CG=2CE=8=CM，
在Rt△CEG中，tan∠CGE=$\frac{CE}{EG}$，即tan30°=$\frac{4}{EG}$，
∴EG=4$\sqrt{3}$，
在Rt△ONG中，NG=CG-CN=8-$\frac{1}{2}$×（8+4）=2，
∴ON=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，OG=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴OE=4$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△CEO中，CO=$\sqrt{C{E}^{2}+E{O}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{21}}{3}$，
∴sin∠COE=$\frac{CE}{CO}$=$\frac{4}{\frac{4\sqrt{21}}{3}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∵OC=OM，OK⊥CM，
∴∠COK=$\frac{1}{2}$∠COM=∠F，
∵△OEC≌△OKC，
∴∠COE=∠COK=∠F，
过C作CR⊥FM，在Rt△CRF中，sinF=$\frac{CR}{CF}$=$\frac{CR}{12}$，
∵sin∠COE=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴CR=$\frac{12\sqrt{21}}{7}$，
∴FR=$\sqrt{C{F}^{2}-C{R}^{2}}$=$\frac{24\sqrt{7}}{7}$，
在Rt△CRM中，RM=$\sqrt{C{M}^{2}-C{R}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$，
则FM=FR-RM=$\frac{20\sqrt{7}}{7}$．

点评 此题属于圆综合题，涉及的知识有：垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，切线的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．