Question

9．如图，梯形OABC中，BC∥AO，O（0，0），A（10，0），B（10，4），BC=2，G（t，0）是底边OA上的动点．
（1）tan∠OAC=2．
（2）边AB关于直线CG的对称线段为MN，若MN与△OAC的其中一边平行时，则t=4或4$\sqrt{5}$或10-2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）根据∠OAC=∠ACB求出tan∠ACB即可．
（2）分①A′B′∥OA②A′B′∥AC③A′B′∥OC三种情形讨论即可．

解答 解：（1）∵BC∥AO，
∴∠OAC=∠ACB，
∵AB=4，BC=2，
∴tan∠OAC=tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{4}{2}$=2．
故答案为2．
（2）情形①图1中，当A′B′∥OA时，作CD⊥OA垂足为D，
∵∠BCB′=90°，CG平分∠BCB′，
∴∠GCD=∠NCB′=45°
∴△CGD是等腰直角三角形，
∴DG=CD=4，t=OG=OD-GD=8-4=4．
情形②图2中，A′B′∥AC，
∵OC=4$\sqrt{5}$，AC=2$\sqrt{5}$，AO=10，
∴AO²=OC²+AC²，
∴∠OCA=90°，
∵A′B′∥AC，∠A′B′C=90°，
∴点B′在线段OC上，
∵CG平分∠BCB′，BC∥OA，
∴∠BCG=∠OGC=∠OCG，
∴OG=OC=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴t=4$\sqrt{5}$．
情形③图3中，A′B′∥OC时，
∵CG平分∠BCB′，BC∥OA，
∴∠ACG=∠B′CE=′BCE=′AGC，
∴AG=AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴t=CG=AO-AG=10-2$\sqrt{5}$．
故答案为4或4$\sqrt{5}$或10-2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查平面直角坐标系、对称的性质、勾股定理等知识，正确画出图象是解题的关键，学会分类讨论，注意不能漏解．