Question

17．如图，反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，-2，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D．
（1）求一次函数的解析式；
（2）对于反比例函数$y=\frac{2}{x}$，当y＜-1时，写出x的取值范围；
（3）在第三象限的反比例图象上是否存在一个点P，使得S_△ODP=2S_△OCA？若存在，请求出来P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点A、B的横坐标分别为1，-2，求得A（1，2），B（-2，-1），由于点A、B在一次函数y=kx+b的图象上，列方程组即可得到结论；
（2）根据图象即可得到结论；
（3）存在，根据一次函数的解析式得到D（-1，0），C（0，-1），设P（m，n），根据S_△ODP=2S_△OCA，列方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵点A、B的横坐标分别为1，-2，
∴y=2，或y=-1，
∴A（1，2），B（-2，-1），
∵点A、B在一次函数y=kx+b的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=k+b}\\{-1=-2k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为：y=x+1；

（2）由图象得知：y＜-1时，写出x的取值范围是-2＜x＜0；

（3）存在，
对于y=x+1，当y=0时，x=-1，当x=0时，y=1，
∴D（-1，0），C（0，1），
设P（m，n），
∵S_△ODP=2S_△OCA，
∴$\frac{1}{2}$×1•（-n）=2×$\frac{1}{2}$×1×1，
∴n=-2，
∵点P在反比例图象上，
∴m=-1，
∴P（-1，-2）．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的求法，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．