Question

8．如图，MN∥PQ∥BC，且$\frac{AN}{3}$=$\frac{NQ}{2}$=QC．
（1）梯形MNQP与梯形PBCQ是否位似？如果位似，求出它们的相似比，如果不位似，说明理由；
（2）若S_△ABC=30cm²．求梯形MNQP的面积．

Answer 1

分析 （1）分别求出梯形MNQP与梯形PBCQ的对应边的比，根据位似变换的概念进行判断即可；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出S_△APQ和S_△AMN，计算得到答案．

解答 解：（1）梯形MNQP与梯形PBCQ不位似，
∵$\frac{AN}{3}$=$\frac{NQ}{2}$=QC，
∴AN：NQ：QC=3：2：1，
∵MN∥PQ∥BC，
∴$\frac{NQ}{QC}$=$\frac{MP}{PB}$=2，$\frac{MN}{PQ}$=$\frac{AN}{AQ}$=$\frac{3}{5}$，
∴梯形MNQP与梯形PBCQ不位似；
（2）∵MN∥BC，
∴S_△AMN：S_△ABC=（$\frac{AN}{AC}$）²=$\frac{1}{4}$，又S_△ABC=30，
∴S_△AMN=$\frac{15}{2}$，
∵MN∥PQ，
∴S_△AMN：S_△APQ=（$\frac{AN}{AQ}$）²=$\frac{9}{25}$，又S_△AMN=$\frac{15}{2}$，
∴S_△APQ=$\frac{125}{6}$，
∴梯形MNQP的面积=S_△APQ-S_△AMN=$\frac{40}{3}$．

点评 本题考查的是位似变换和相似三角形的性质，掌握位似变换的概念和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．