Question

16．下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有（　　）

• A． 160
• B． 161
• C． 162
• D． 163

Answer 1

分析 由图可以看出：第一个图形中由角上的3个三角形加上中间1个小三角形再加上外围1个大三角形共有5个正三角形；下一个图形的三个角上的部分是上一个图形的全部，另外加上中间一个小的三角形和外围的一个大三角形，所以第二个图形中有5×3+1+1=17个正三角形，第三个图形中有17×3+1+1=53个正三角形，第四个图形中有53×3+1+1=161个正三角形．

解答 方法一：
解：第一个图形正三角形的个数为5，
第二个图形正三角形的个数为5×3+2=17，
第三个图形正三角形的个数为17×3+2=53，
第四个图形正三角形的个数为53×3+2=161，
故选B．

方法二：
$\stackrel{4×3}{\overbrace{5，17}}$，$\stackrel{4×{3}^{2}}{\overbrace{17，53}}$，$\stackrel{4×{3}^{3}}{\overbrace{53，161}}$，$\stackrel{4×{3}^{4}}{\overbrace{161，{a}_{5}}}$，…$\stackrel{4×{3}^{n-1}}{\overbrace{{a}_{n-1}，{a}_{n}}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}-{a}_{1}=4×3}\\{{a}_{3}-{a}_{2}=4×{3}^{2}}\\{…}\\{{a}_{n}-{a}_{n-1}=4×3+4×{3}^{n-1}}\end{array}\right.$，
⇒（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）=a_n-a₁，
∴a_n-a₁=4×（3+3²+…+3^n-1）=4×（3+3²+…+3^n-1）=$\frac{{3}^{n}-3}{2}$（用错位相减法可求出）
∴${a}_{n}-{a}_{1}=2×{3}^{n}-6$，
∵a₁=5，
∴${a}_{n}=2×{3}^{n}-1$．

点评 此题考查图形的变化规律，找出数字与图形之间的联系，找出规律解决问题是解答此题的关键．