Question

11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．
（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的性质结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而求出即可；
（2）利用勾股定理得出BO的长再利用三角形中位线定理得出EF的长．

解答 解：（1）△OEF是等腰三角形，
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EO=$\frac{1}{2}$AB，OF=$\frac{1}{2}$AD，
∴EO=FO，
∴△OEF是等腰三角形；

（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=10，
∴AO=5，∠AOB=90°，
∴BO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∴BD=24，
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BD，
∴EF=12．

点评 此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理和三角形中位线定理等知识，熟练应用菱形的性质是解题关键．