Question

6．已知，AB、AC是圆O的两条弦，AB=AC，过圆心O作OH⊥AC于点H．

（1）如图1，求证：∠B=∠C；
（2）如图2，当H、O、B三点在一条直线上时，求∠BAC的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E为劣弧BC上一点，CE=6，CH=7，连接BC、OE交于点D，求BE的长和$\frac{DE}{OD}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OA．欲证明∠B=∠C，只要证明△AOC≌△AOB即可．
（2）由OH⊥AC，推出AH=CH，由H、O、B在一条直线上，推出BH垂直平分AC，推出AB=BC，由AB=AC，推出AB=AC=BC，推出△ABC为等边三角形，即可解决问题．
（3）过点B作BM⊥CE延长线于M，过E、O作EN⊥BC于N，OK⊥BC于K．设ME=x，则BE=2x，BM=$\sqrt{3}$x，在△BCM中，根据BC²=BM²+CM²，可得BM=5$\sqrt{3}$，推出sin∠BCM=$\frac{BM}{BC}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，推出NE=$\frac{15\sqrt{3}}{7}$，OK=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CK=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，由NE∥OK，推出DE：OD=NE：OK即可解决问题．

解答 证明：（1）如图1中，连接OA．

∵AB=AC，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AB}$，
∴∠AOC=∠AOB，
在△AOC和△AOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OA}\\{∠AOC=∠AOB}\\{OC=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△AOB，
∴∠B=∠C．

解：（2）连接BC，

∵OH⊥AC，
∴AH=CH，
∵H、O、B在一条直线上，
∴BH垂直平分AC，
∴AB=BC，∵AB=AC，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°．

解：（3）过点B作BM⊥CE延长线于M，过E、O作EN⊥BC于N，OK⊥BC于K．

∵CH=7，
∴BC=AC=14，
设ME=x，
∵∠CEB=120°，
∴∠BEM=60°，
∴BE=2x，
∴BM=$\sqrt{3}$x，
△BCM中，∵BC²=BM²+CM²，
∴14²=（$\sqrt{3}$x）²+（6+x）²，
∴x=5或-8（舍弃），
∴BM=5$\sqrt{3}$，
∴sin∠BCM=$\frac{BM}{BC}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∴NE=$\frac{15\sqrt{3}}{7}$，
∴OK=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CK=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，
∵NE∥OK，
∴DE：OD=NE：OK=45：49．

点评 本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质．线段的垂直平分线的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．