Question

2．如图，?ABCD中，∠ABC=60°，F在AD边上，FD=AB，延长BF至点E，连接DE，连接CE交AD于点G，若∠BEC=60°，求证：CE=EF+DE．（要求：用四种不同方法证明，写出详细证明过程，并进行归纳总结）

Answer 1

分析 利用截长补短进行添加辅助线，①如图1中，在线段EC上截取EM=ED．②如图2中，在线段EC上截取EF=EM．③如图3中，延长FE到M使得EM=ED．④如图4中，延长DE到M，使得EM=EF．

解答 方法一：（截长法）．
证明：如图1中，在线段EC上截取EM=ED．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，
∵DF=AB=CD，
∴△DFC是等边三角形，
∴CF=CD=DF，∠FCD=∠CFD=∠CDF=60°，
∵∠FEC=∠CDG=60°，
∴E、F、C、D四点共圆，
∴∠DEC=∠CFG=60°，
∴△EDM是等边三角形，
∴∠EDM=∠FDC=60°，ED=EM=DM，
∴∠EDF=∠MDC，
在△EDF和△MDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=DM}\\{∠EDF=∠MDC}\\{DF=DC}\end{array}\right.$，
∴△EDF≌△MDC，
∴EF=CM，
∴EC=EM+CM=DE+EF．
方法二：（截长法）．
如图2中，在线段EC上截取EF=EM．只要证明△EFD≌△MFC．证明方法类似（1）．
方法三：（补短法）
如图3中，延长FE到M使得EM=ED．
∵∠MED=180°-∠FEC-∠CED=60°，
∴△EMD是等边三角形，
∴EM=ED=DM，∠MDE=∠CDF=60°，
∴∠MDF=∠CDF，
在△MDF和△EDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DE}\\{∠MDF=∠EDC}\\{DF=DC}\end{array}\right.$，
∴△MDF≌△EDC，
∴EC=FM=EF+EM=EF+ED．
方法四：（补短法）．
如图4中，延长DE到M，使得EM=EF，只要证明△DMF≌△CEF，证明方法类似（3）．

点评 本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造特殊三角形，利用全等三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．