Question

11．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（2，0），B（6，2），C（6，6），反比例函数y₁=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象过点D，点P是一次函数y₂=kx+3-3k（k≠0）的图象与该反比例函数的一个公共点，对于下面四个结论：
①反比例函数的解析式是y₁=$\frac{6}{x}$；
②一次函数y₂=kx+3-3k（k≠0）的图象一定经过（6，6）点；
③若一次函数y₂=kx+3-3k的图象经过点C，当x$＞2\sqrt{2}$时，y₁＜y₂；
④对于一次函数y₂=kx+3-3k（k≠0），当y随x的增大而增大时，点P横坐标a的取值范围是$\frac{a}{3}$＜a＜3．
其中正确的是（　　）

• A． ①③
• B． ②③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 ①由B（6，2），C（6，6）得到BC⊥x轴，BC=4，根据平行四边形的性质得AD=BC=4，而A点坐标为（2，0），可得到点D的坐标为（2，4），然后把D（2，4）代入y=$\frac{m}{x}$即可得到m=8，从而可确定反比例函数的解析式；
②把x=6代入y=kx+3-3k（k≠0）得到y=3k+3，即可说明一次函数y=kx+3-3k（k≠0）的图象不一定过点C；
③由一次函数图象过点C可找出k的值，联立一次函数解析式与双曲线解析式得出关于x、y的方程组，解方程组找出点P的坐标，结合函数图象即可得出结论；
④由一次函数的单调性可得出k＞0，结合一次函数必过点（3，3），而此时同横坐标的双曲线上的点的坐标为（3，$\frac{8}{3}$），由此可得出a＜3，结合点P在第一象限可知$\frac{a}{3}$＜a，由此可得出结论成立．结合①②③④即可得出结论．

解答 解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∵B（6，2），C（6，6），
∴BC⊥x轴，AD=BC=4，
而A点坐标为（2，0），
∴点D的坐标为（2，4），
∵反比例函数y₁=$\frac{m}{x}$（x＞0）的函数图象经过点D（2，4），
∴4=$\frac{m}{2}$，
∴m=8，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{8}{x}$，①不正确；
②当x=6时，y=kx+3-3k=6k+3-3k=3k+3≠6，
∴一次函数y=kx+3-3k（k≠0）的图象不一定过点C，②不正确；
③∵一次函数y₂=kx+3-3k的图象经过点C，
∴6=6k+3-3k，解得：k=1．
∴y₂=x．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}}\\{y=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{2}}\\{y=-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$（舍去）．
结合函数图象即可得出：
当x$＞2\sqrt{2}$时，y₁＜y₂，③成立；
④∵一次函数y₂=kx+3-3k（k≠0），y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴交点P在第一象限，
∴点P横坐标a的取值范围是$\frac{a}{3}$＜a．
将x=3带入到反比例函数y=$\frac{8}{x}$中，得：y=$\frac{8}{3}$．
又∵一次函数y₂=kx+3-3k（k≠0）恒过点（3，3），点（3，$\frac{8}{3}$）在（3，3）的下方，
即点P应该在点（3，$\frac{8}{3}$）的左方，
∴点P横坐标a的取值范围是a＜3．
即④正确．
综上可知：③④正确，
故选D．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、平行四边形的性质以及一次函数的性质，解题的关键是逐条分析四条结论的正确性．本题属于中档题，难度不大，再解决该题时，首先判断出①②结论不正确即可得知答案为D，不必再去分析③④．