Question

17．已知菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点A在x轴的正半轴上，OB=4$\sqrt{3}$，∠COA═60°，点P是对角线OB上的一个动点，点D的坐标为（0，1），则CP+DP的最小值为（　　）

• A． 5
• B． $\sqrt{17}$
• C． 4
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 连接AC，根据菱形的性质，点A、C关于直线OB对称，连接AD与OB相交于点P，根据轴对称确定最短路线问题，点P即为所求作的使CP+DP最小的点，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠AOB=30°，然后求出OA的长度，根据点D的坐标求出OD，再利用勾股定理列式计算求出AD，从而得解．

解答 解：如图，连接AC，
∵四边形OABC是菱形，
∴点A、C关于直线OB对称，
连接AD与OB相交于点P，由轴对称确定最短路线问题，点P即为所求作的使CP+DP最小的点，
CP+DP的最小值为AD的长度，
∵∠COA═60°，
∴∠AOB=$\frac{1}{2}$∠COA=30°，
∴OA=$\frac{1}{2}$OB÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=4，
∵点D的坐标为（0，1），
∴OD=1，
由勾股定理得，AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$．
故选B．

点评 本题考查了轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质以及最短距离的确定方法找出点P的位置是解题的关键．