Question

11．如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，反比例函数y=$\frac{k}{x}$经过正方形AOBC对角线的交点，半径为4-2$\sqrt{2}$的圆内切于△ABC，则k的值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 4
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据正方形的性质得出AD=BD=DO=CD，NO=DN，HQ=QE，HC=CE，进而根据半径为（4-2$\sqrt{2}$）的圆内切于△ABC，得出CD的长，从而得出DO的长，再利用勾股定理得出DN的长进而得出k的值．

解答 解：设正方形对角线交点为D，过点D作DM⊥AO于点M，DN⊥BO于点N；
设圆心为Q，切点为H、E，连接QH、QE．
∵在正方形AOBC中，反比例函数y=$\frac{k}{x}$经过正方形AOBC对角线的交点，
∴AD=BD=DO=CD，NO=DN，HQ=QE，HC=CE，
QH⊥AC，QE⊥BC，∠ACB=90°，
∴四边形HQEC是正方形，
∵半径为（4-2$\sqrt{2}$）的圆内切于△ABC，
∴DO=CD，
∵HQ²+HC²=QC²，
∴2HQ²=QC²=2×（4-2$\sqrt{2}$）²，
∴QC²=48-32$\sqrt{2}$=（4$\sqrt{2}$-4）²，
∴QC=4$\sqrt{2}$-4，
∴CD=4$\sqrt{2}$-4+（4-2$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$，
∴DO=2$\sqrt{2}$，
∵NO²+DN²=DO²=（2$\sqrt{2}$）²=8，
∴2NO²=8，
∴NO²=4，
∴DN×NO=4，
即：xy=k=4．
故选C．

点评 此题主要考查了正方形的性质以及三角形内切圆的性质以及待定系数法求反比例函数解析式，根据已知求出CD的长度，进而得出DN×NO=4是解决问题的关键．