Question

2．已知x（x+2y-2）=10，y（y+2z-2）=12，z（z+2x-2）=13，那么，x，y，z三数的平均数的最小值为-$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 将已知三个等式相加后整理可得（x+y+z）²-2（x+y+z）-35=0，将x+y+z看作整体解方程可得x+y+z的值，继而可知x、y、z的平均数．

解答 解：由题意$\left\{\begin{array}{l}{x（x+2y-2）=10}&{①}\\{y（y+2z-2）=12}&{②}\\{z（z+2x-2）=13}&{③}\end{array}\right.$，
①+②+③得：x²+y²+z²+2（xy+yz+zx）-2（x+y+z）=35，
（x+y+z）²-2（x+y+z）-35=0，
（x+y+z+5）（x+y+z-7）=0，
∴x+y+z=-5或x+y+z=7，
则$\frac{x+y+z}{3}$=-$\frac{5}{3}$或$\frac{x+y+z}{3}$=$\frac{7}{3}$，
∴x，y，z三数的平均数的最小值为-$\frac{5}{3}$，
故答案为：-$\frac{5}{3}$．

点评 本题主要考查平均数的计算和整式的变形及解方程的能力，将已知三等式相加进行整理、变形得出x+y+z的值是解题的关键．