Question

14．如图，在矩形ABCD中，AB=8厘米，BC=6厘米，点P从点C沿CD方向向终点D移动，同时点Q从点A沿AC方向向终点C移动，速度均为每秒1厘米，当一点到达终点时，另一点也停止运动
（1）设运动的时间t秒，当t为何值时，△CPQ与△ACD相似？
（2）设四边形ADPQ的面积为S，当t为何值时，S有最小值？

Answer 1

分析 （1）分两种情况：①当PQ∥AD时，△QCP∽△ACD；②当PQ⊥AC时，△PCQ∽△ACD；即可求出答案；
（2）过点P作PM⊥BC于M，根据相似三角形的判定得出△PCM∽△ACD，求出PM，根据S等于△ABC的面积减去△PQC的面积，代入求出即可．

解答 解：（1）分两种情况：①PQ∥AD，如图1，
∴△QCP∽△ACD，
∴$\frac{PC}{CD}$=$\frac{CQ}{AC}$，
∵AB=8厘米，BC=6厘米，∠D=90°，
∴CP=t，CQ=10-t，AC=10厘米，
∴$\frac{t}{8}$=$\frac{10-t}{10}$，
∴t=$\frac{40}{9}$；
②当PQ⊥AC时，如图2，
∴△PCQ∽△ACD；
∴$\frac{CQ}{CD}$=$\frac{CP}{CA}$，
∵AB=8厘米，BC=6厘米，∠D=90°，
∴CP=t，CQ=10-t，AC=10厘米，
∴$\frac{10-t}{8}$=$\frac{t}{10}$，
∴t=$\frac{50}{9}$；
∴t=$\frac{40}{9}$或$\frac{50}{9}$时，△CPQ与△ACD相似；
（2）如图3，
过P作PM⊥AC于M，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=∠B=∠PMC=90°，AD=BC=6，AB=DC=8，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵∠PMC=∠D，∠PCM=∠DCA，
∴△PCM∽△ACD，
∴$\frac{PC}{AC}$=$\frac{PM}{AD}$，
∴$\frac{t×1}{10}$=$\frac{PM}{6}$，
解得：PM=$\frac{3}{5}$t，
∵四边形ADPQ的面积为S，
∴S=S_△ADC-S_△PQC
=$\frac{1}{2}$×AD×DC-$\frac{1}{2}$×CQ×PM
=$\frac{1}{2}×6×8$-$\frac{1}{2}×$（10-t）×$\frac{3}{5}$t
=$\frac{3}{5}$t²-3t+24
=$\frac{3}{5}$（t-5）²+$\frac{33}{2}$，
∵a=$\frac{3}{5}$＞0，
∴图象的开口向上，即有最小值，
当t为5时，S有最小值．

点评 本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，二次函数的最值问题的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．