Question

15．在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（$\frac{1}{x}$，$\frac{1}{y}$）称为点P的“倒影点”，直线y=-x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上．若AB=2$\sqrt{2}$，则k=-$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 设点A（a，-a+1），B（b，-b+1）（a＜b），则A′（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{1-a}$），B′（$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{1-b}$），由AB=2$\sqrt{2}$可得出b=a+2，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、a、b的方程组，解之即可得出k值．

解答 解：设点A（a，-a+1），B（b，-b+1）（a＜b），则A′（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{1-a}$），B′（$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{1-b}$），
∵AB=$\sqrt{（b-a）^{2}+[（-b+1）-（-a+1）]^{2}}$=$\sqrt{2（b-a）^{2}}$=$\sqrt{2}$（b-a）=2$\sqrt{2}$，
∴b-a=2，即b=a+2．
∵点A′，B′均在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=a+2}\\{k=\frac{1}{a（1-a）}=\frac{1}{b（1-b）}}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{4}{3}$．
故答案为：-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于k、a、b的方程组是解题的关键．