Question

11．已知，点B为线段AC上的一个动点，△ACD与△BCE部为等边三角形，点D与点E在直线AC的两侧，连接AE交DB的延长于点P．连接PC．
（1）如图1，当点B为线段AC的中点时，求证：PA+PC=PD；
（2）如图2，当点B不为线段AC的中点时，（1）的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，分别过点C，E作CF⊥BD，EG⊥PC，垂足分别为点F，G，若PD-PA=5，BF=$\frac{5}{8}$，求线段CG的长．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠CDB=$\frac{1}{2}∠$ADC=30°，∠DBC=90°，证得PD垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PC，根据等边三角形的性质得到AC=DC，∠ACE=∠DCB=60°，推出△ACE≌△DCB，根据全等三角形的性质得到∠CAE=∠CDB=30°，∠CEA=∠CBD=90°，即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到AC=DC，∠ACE=∠DCB=60°，通过△ACE≌△DCB，得到∠CAE=∠CDB，∠CEA=∠CBD，以PC为边作∠PCM=60°，另一边交PD于M，证得△PCE≌△MCB，根据全等三角形的性质得到PC=CM，于是得到△PCM为等边三角形，由等边三角形的性质得到PC=PM=CM，求得∠DCM=∠ACP，根据全等三角形的性质得到PA=DM即可得到结论；
（3）由（2）知△PCM为等边三角形，根据CF⊥BD，MF=PF和已知条件得到PD-DM=PM=5=PC=CM，于是得到MF=PF=$\frac{1}{2}$PM=$\frac{5}{2}$，根据全等三角形的性质得到BM=PE=$\frac{25}{8}$，∠EPC=∠PMC=60°，根据直角三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）∵△ACD为等边三角形，点B为线段AC的中点，
∴∠CDB=$\frac{1}{2}∠$ADC=30°，∠DBC=90°，
∴PD垂直平分AC，
∴PA=PC，
∵△ACD与△BCE为等边三角形，
∴AC=DC，∠ACE=∠DCB=60°，
在△ACE与△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{EC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB=30°，∠CEA=∠CBD=90°，∠PAD=90°，
∴PD=2PA=2PC，
∴PD=PA+PC；

（2）∵△ACD与△BCE为等边三角形，
∴AC=DC，∠ACE=∠DCB=60°，
在△ACE与△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{EC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，∠CEA=∠CBD，
以PC为边作∠PCM=60°另一边交PD于M，
∵∠PCM=∠BCE=60°，
∴∠MCB=∠PCE，
在△PCE与△MCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCB=∠PCE}\\{BC=CE}\\{∠CEP=∠MBC}\end{array}\right.$，
∴△PCE≌△MCB，
∴PC=CM，
∴△PCM为等边三角形，
∴PC=PM=CM，
∵∠PCM=∠ACD=60°，
∴∠DCM=∠ACP，
在△APC与△DMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠DCM=∠ACP}\\{PC=MC}\end{array}\right.$，
∴△APC≌△DMC，
∴PA=DM，
∴PA+PC=DM+PM=PD；

（3）解：由（2）知△PCM为等边三角形，
∵CF⊥BD，MF=PF，
∵PD-PA=5，PA=DM，
∴PD-DM=PM=5=PC=CM，
∴MF=PF=$\frac{1}{2}$PM=$\frac{5}{2}$，
∵BF=$\frac{5}{8}$，
∴PB=$\frac{5}{2}$-$\frac{5}{8}$=$\frac{15}{8}$，
∵BM=PM-PB=5-$\frac{15}{8}$=$\frac{25}{8}$，
∵△PCE≌△MCB，
∴BM=PE=$\frac{25}{8}$，∠EPC=∠PMC=60°，
∵EG⊥PC，
∴∠PEG=30°，
∴$PG=\frac{1}{2}PE=\frac{25}{16}$，
∴CG=PC-PG=5-$\frac{25}{16}$=$\frac{55}{16}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．