Question

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交斜边AB于点E．
（1）点F为BC的中点，连接EF，（如图1），求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接EO并延长交BC的延长线于点D，若⊙O的半径为3，∠EAC=60°（如图2），求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连结CE，求出EF=CF=BF，推出∠1+∠3=∠2+∠4，求出∠ACB=∠OEF=90°，根据切线的判定推出即可．
（2）证出△AOE是等边三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的性质即可得到结果．

解答 （1）证明：连结OE，CE，
∵AC是直径，
∴∠AEC=90°，
∴∠BEC=90°，
∵F是BC的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$BC=FC，
∴∠1=∠2．
∵OC=OE，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
即∠ACB=∠OEF，
∵∠ACB=90°，
∴∠OEF=90°，
又∵OE是半径，
∴EF是⊙O的切线． 
（2）如图2，∵⊙O的半径为3，
∴AO=CO=EO=3，
∵∠EAC=60°，OA=OE，
∴∠EOA=60°，
∴∠COD=∠EOA=60°，
∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，
∴CD=3$\sqrt{3}$
∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，
CD=3$\sqrt{3}$，AC=6，
∴AD=3$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题的关键．