Question

8．已知，正三角形ABC的边长为1，正三角形ABC的外接圆和它的内切圆是同心圆，求这两个圆所形成的圆环的面积．

Answer 1

分析 如图，△ABC为等边三角形，点O为中心，作OD⊥BC于D，连接BO，则BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，利用等边三角形的性质得OB为△外接圆的半径，OD为内切圆的半径，由于OB²-OD²=BD²=$\frac{1}{4}$，然后利用圆的面积公式，计算两圆的面积差即可．

解答 解：如图，△ABC为等边三角形，点O为中心，
作OD⊥BC于D，连接BO，则BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，
∵△ABC为等边三角形，
∴OB为△外接圆的半径，OD为内切圆的半径，
OB²-OD²=BD²=$\frac{1}{4}$，
∴这两个圆所形成的圆环的面积=π•OB²-π•OD²=$\frac{1}{4}$π．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外心和等边三角形的性质．