Question

16．如图1所示，在边长为1的正方形ABCD中，P是BC边上一动点，AP的延长线与∠ABC的外角平分线交于E，∠EAF=45°，且AF交∠ADC的外角平分线交于F，把△ADF绕A旋转至△ABQ．
（Ⅰ）如图1所示，当BE=DF时，求BQ的长；
（Ⅱ）如图2所示．
（1）请探究线段BE，DF，EF之间的数量关系，并证明．
（2）当点P在BC边上运动时，记BP=x（0＜x＜1），S_△BEQ=y，探究y是否随着x的变化而变化，若不变化，求出y的值，若变化，求出y与x的函数关系式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过证明△ABE≌△ADF，得∠BAE=∠DAF．由∠EAF=45°，∠ADF=135°，可得∠DAF=∠AFD=22.5°，所以BQ=DF=AD=1．
（Ⅱ）（1）由题意易知△QBE为直角三角形，在直角△QBE中，BE、BQ、QE满足勾股定理关系．由于DF=BQ，说明QE=EF是关键．可通过证明△AQE≌△FAE来实现．
（2）易证明当P运动时，△ABE∽△FDA，即△ABE∽△QBA，根据相似三角形的性质，易得QB×BE=1．由y=S△BQE的面积=$\frac{1}{2}$×QB×BE得证．

解答 解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=1，∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°．
∵BE、DF分别是正方形ABCD的外角平分线，
∴∠EBC=∠CDF=45°．
∴∠ABE=∠ADF=135°．
在△ABE和△ADF中，由于$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADF}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ABE．
∴∠BAE=∠DAF
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF=$\frac{1}{2}$（90°-45°）=22.5°．
∵∠ADF=135°，
∴∠AFD=22.5°，
∴∠DAF=∠DFA，
∴AB=DF=1．
∵△ADF绕A旋转至△ABQ，
∴△ADF≌△ABQ，
∴BQ=DF=1．
（Ⅱ）（1）BE²+DF²=EF²．
证明：∵△ADF≌△ABQ，
∴BQ=DF，AQ=AF，∠QAB=∠DAF=22.5°，∠ADF=∠ABQ=135°，
又∵∠ABE=135°，
∴∠QBE=360°-∠ABQ-∠ABE=90°，
在RT△BQE中，BE²+BQ²=QE²．即BE²+DF²=QE²．
∵∠QAB=∠BAE=∠DAF=22.5°，
∴∠QAE=45°
∴∠QAE=∠EAF．
在△QAE和△FAE中，由于$\left\{\begin{array}{l}{AQ=AF}\\{∠QAE=∠EAF}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△QAE≌△FAE，
∴QE=EF．
∴BE²+DF²=EF²．
（2）当点P在BC边上运动时，
∵∠ADF=∠ABE=135°，
∴∠BAE+∠BEA=45°，
又∵∠DAF+∠BAE=45°，
∴∠DAF=∠AEB．
∴△ABE∽△FDA．

由于△ADF≌△ABQ，
∴△ABE∽△QBA．
∴$\frac{BQ}{AB}=\frac{AB}{BE}$
即BQ×BE=1．
∵△BQE为直角三角形，
∴y=S_△QBE=$\frac{1}{2}$×BQ×BE=$\frac{1}{2}$．
所以y不随x（0＜x＜1）的变化而变化，恒等于$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，是个综合性较强的题目．解决本题的关键是通过全等，把分散的线段集中在直角三角形中，利用直角三角形的勾股定理和面积解决问题．