题目内容
如图，在△ABC中，AB=AC=10，cosB=| 3 |
| 5 |
（1）BC=
（2）若a=2，
①设三角形BPQ的面积为y，求y与t的函数表达式，并求y的最大值；
②求t为何值时，以Q为圆心、以PQ为半径的圆与AB相切；
（3）设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．
①若a=
| 5 |
| 2 |
②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
考点：圆的综合题
专题：
分析：（1）通过解直角三角函数即可求得；
（2）①根据已知条件PB=2t，BQ=6-t，然后根据cosB=
即可求得三角形的高PE，最后根据三角形的面积公式即可求得；②根据切线的性质判断三角形PBQ是直角三角形，然后根据cosB=
即可求解；
（3）①根据平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理即可求得，②根据已知可得到PB=PM，然后根据平行线分线段成比例求得t的值为负数，即可判断；
（2）①根据已知条件PB=2t，BQ=6-t，然后根据cosB=
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
（3）①根据平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理即可求得，②根据已知可得到PB=PM，然后根据平行线分线段成比例求得t的值为负数，即可判断；
解答：
解：（1）如图1，连接AD，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC=10，cosB=
，
∴DC=BD=6，
∴BC=12，
（2）①如图1，过P作PE⊥BC于E，
∵cosB=
，
∴sinB=
，
∵sinB=
=
，PB=at=2t，
∴PE=
t，
∴y=
BQ•PE=
（6-t）×
t=
t-
t2，
即y=-
t2+
t，
∵y=-
t2+
t=-
（t-3）2+
，
∴y的最大值为
．
②∵以PQ为半径的圆与AB相切，
∴PQ⊥AB，
∵cosB=
，PB=2t，BQ=6-t，
∴
=
，
即
=
，
解得：t=
，
∴t=
时，以Q为圆心、以PQ为半径的圆与AB相切；
（3）①如图2，∵四边形PQCM为平行四边形，
∴PQ∥AC，
∴∠PQB=∠ACB，
∵∠B=∠ACB，
∴∠B=∠PQB，
∴PB=PQ=at，
∵a=
，
∴PQ=PB=
t，
∵PM=QC=6+t，PA=10-
t，
∵PM∥BC，
∴PM：BC=PA：AB，
即
=
，
解得：t=
，
∴PQ=
t=
×
=
．
②如图2，∵四边形PQCM为平行四边形，
∴PM∥BC，
∴∠MPC=∠QCP，
∵PC是∠ACB的平分线，
∴∠MCP=∠QCP，
∴∠MPC=∠MCP，
∴PM=CM，
∵PB=PQ=CM，PM=QC，
∴PM=PB=at，PM=6+t，
∵PM：BC=PA：AB，
∴
=
，
解得：t=-
，
∵t≥0，
∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上．
解：（1）如图1，连接AD，∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC=10，cosB=
| 3 |
| 5 |
∴DC=BD=6，
∴BC=12，
（2）①如图1，过P作PE⊥BC于E，
∵cosB=
| 3 |
| 5 |
∴sinB=
| 4 |
| 5 |
∵sinB=
| PE |
| PB |
| 4 |
| 5 |
∴PE=
| 8 |
| 5 |
∴y=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 8 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
即y=-
| 4 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
∵y=-
| 4 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 36 |
| 5 |
∴y的最大值为
| 36 |
| 5 |
②∵以PQ为半径的圆与AB相切，
∴PQ⊥AB，
∵cosB=
| 3 |
| 5 |
∴
| PB |
| BQ |
| 3 |
| 5 |
即
| 2t |
| 6-t |
| 3 |
| 5 |
解得：t=
| 18 |
| 13 |
∴t=
| 18 |
| 13 |
（3）①如图2，∵四边形PQCM为平行四边形，
∴PQ∥AC，
∴∠PQB=∠ACB，
∵∠B=∠ACB，
∴∠B=∠PQB，
∴PB=PQ=at，
∵a=
| 5 |
| 2 |
∴PQ=PB=
| 5 |
| 2 |
∵PM=QC=6+t，PA=10-
| 5 |
| 2 |
∵PM∥BC，
∴PM：BC=PA：AB，
即
| 6+t |
| 12 |
10-
| ||
| 10 |
解得：t=
| 3 |
| 2 |
∴PQ=
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 15 |
| 4 |
②如图2，∵四边形PQCM为平行四边形，
∴PM∥BC，
∴∠MPC=∠QCP，
∵PC是∠ACB的平分线，
∴∠MCP=∠QCP，
∴∠MPC=∠MCP，
∴PM=CM，
∵PB=PQ=CM，PM=QC，
∴PM=PB=at，PM=6+t，
∵PM：BC=PA：AB，
∴
| 6+t |
| 12 |
| 10-(6+t) |
| 10 |
解得：t=-
| 3 |
| 11 |
∵t≥0，
∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上．
点评：本题考查了直角三角函数的应用，平行四边形的性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理以及圆的切线的性质等；本题的关键是熟练运用圆的切线的性质，平行四边形的性质来解决问题．
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