Question

2．问题探究：
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）证明：AD=BE；
（2）求∠AEB的度数．
问题变式：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请求出∠AEB的度数以及判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 问题探究：（1）证明△CDA≌△CEB，根据全等三角形的性质解答；
（2）根据全等三角形的性质得到∠CEB=∠CDA=120°，计算即可；
问题变式：（1）证明△CDA≌△CEB，根据全等三角形的性质解答；
（2）根据全等三角形的性质、直角三角形的性质解答．

解答 解：问题探究：（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，CA=CB，CD=CE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△CDA和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△CDA≌△CEB，
∴AD=BE；

（2）∵△CDA≌△CEB，
∴∠CEB=∠CDA=120°，
又∠CED=60°，
∴∠AEB=120°-60°=60°；
问题变式：（1）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∠ACB=∠DCE=90°，
∴AC=BC，CD=CE，
∠ACB=∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠BEC=∠ADC=135°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°；
（2）AE=2CM+BE，
在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM=DM=ME，
∴DE=2CM．
∴AE=DE+AD=2CM+BE
∴AE=2CM+BE．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．