Question

10．已知：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，用余弦、正切的定义证明：
（1）BC²=AB•BD；
（2）CD²=AD•BD．

Answer 1

分析 （1）根据余弦的定义，分别在Rt△ABC和Rt△DBC中表示出cosB，根据等式的性质计算即可；
（2）证明∠ACD=∠B，根据∠ACD和∠B的正切值相等计算．

解答 解：（1）∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，
∴∠ACB=∠CDB=90°，
在Rt△ABC中，
cosB=$\frac{BC}{AB}$，
在Rt△DBC中，
cosB=$\frac{BD}{BC}$，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BD}{BC}$，即BC²=AB•BD；
（2）∵∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠ACD=∠B，
在Rt△ADC中，
tan∠ACD=$\frac{AD}{CD}$，
在Rt△DBC中，
tanB=$\frac{CD}{BD}$，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{CD}{BD}$，即CD²=AD•BD．

点评 本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．