Question

5．已知：二次函数y=2x²+4x+m-1，与x轴的公共点为A，B．
（1）如果A与B重合，求m的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点；
①当m=1时，求线段AB上整点的个数；
②若设抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）整点的个数为n，当1＜n＜8时，结合函数的图象，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当A、B重合时，抛物线与x轴只有一个交点，此时△=0，从可求出m的值．
（2）①m=1代入抛物线解析式，然后求出该抛物线与x轴的两个交点的坐标，从而可求出线段AB上的整点；
②根据二次函数表达式可以用带m表达出两根之差，根据1＜两根之差＜8，即可解题．

解答 解：（1）∵A与B重合，
∴二次函数y=2x²+4x+m-1的图象与x轴只有一个公共点，
∴方程2x²+4x+m-1=0有两个相等的实数根，
∴△=4²-4×2（m-1）=24-8m=0，
解得：m=3．
∴如果A与B重合，m的值为3．
（2）①当m=1时，原二次函数为y=2x²+4x+m-1=2x²+4x，
令y=2x²+4x=0，则x₁=0，x₂=-2，
∴线段AB上的整点有（-2，0）、（-1，0）和（0，0）．
故当m=1时，线段AB上整点的个数有3个．
②由点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）可用以下不等式表示
（3）如图，

对于二次函数y=2x²+4x+m-1，可知对称轴x=-1，
∵抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）整点的个数为n，且1＜n＜8，
∴x=0时，y≤0；x=3时，y＞0；
则有$\left\{\begin{array}{l}{m-1≤0}\\{18+12+m-1＞0}\end{array}\right.$，
解得：-29＜m≤1．

点评 本题考查了二次函数求根公式的应用，考查了二次函数只有一个根时△=0的应用，熟练解二次函数是解题的关键．