Question

10．按照一定顺序排列的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a₁，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a_n．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…，为等比数列，其中a₁=1，公比为q=3．
（1）等比数列3，6，12，…，的第6项是96．
（2）如果一个数列a₁，a₂，a₃，a₄，…，是等比数列，且公比为q．根据定义可得到：$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=q，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=q，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=q，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=q．所以a₂=a₁•q，a₃=a₂•q=（a₁•q）•q=a₁•q²，a₄=a₃•q=（a₁•q²）•q=a₁•q³，…，由此可得：a_n=a₁•q^n-1（用a₁和q的代数式表示）．
（3）若用S_n表示等比数列a₁，a₂，a₃，a₄，…，a_n，中前n项和．证明分两种情况：当q=1时，a₂=a₁，a₃=a₁，a₄=a₁，…，∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=na₁．
①根据q=1的证明方法，证明：当q≠1时，等比数列前n项和S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$成立．
②求（1）中等比数列S₆的值．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列的定义先确定公比q=2，继而可得；
（2）根据题意得出每一项等于首项乘以公比的序数减1次方，据此可得；
（3）①由题意得S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=a₁+a₁•q+a₁•q²+…+a₁•q^n-1，则qS_n=a₁•q+a₁•q²+…+a₁•q^n-1+a₁•qⁿ，两式相减整理可得答案；②将a₁=3、q=2、n=6代入求解可得．

解答 解：（1）∵该等比数列的公比q=6÷3=2，
∴数列第4项为12×2=24，第5项为24×2=48，第6项为48×2=96，
故答案为：96；

（2）∵a₂=a₁•q，a₃=a₂•q=（a₁•q）•q=a₁•q²，a₄=a₃•q=（a₁•q²）•q=a₁•q³，…，
∴a_n=a₁•q^n-1，
故答案为：a₁•q^n-1；

（3）①当q≠1时，
∵a₂=a₁•q，a₃=a₁•q²，a₄=a₁•q³，…，a_n=a₁•q^n-1，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=a₁+a₁•q+a₁•q²+…+a₁•q^n-1 ①，
则qS_n=a₁•q+a₁•q²+…+a₁•q^n-1+a₁•qⁿ ②，
①-②，得：（1-q）S_n=a₁-a₁•qⁿ=a₁（1-qⁿ），
∵q≠1，
∴q-1≠0，
则S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$；
②∵等比数列3，6，12，…，的首项a₁=3，公比q=2，
∴S₆=$\frac{3×（1-{2}^{6}）}{1-2}$=189．

点评 本题主要考查数字的变化类，阅读材料，理解等比数列的定义及数列求和的方法是解题的关键．