Question

14．如图矩形ABCD中AB=6，AD=4，点P为AB上一点，把矩形ABCD沿过P点的直线l折叠，使D点落在BC边上的D′处，直线l与CD边交于Q点．
（1）在图（1）中利用无刻度的直尺和圆规作出直线l．（保留作图痕迹，不写作法和理由）
（2）若PD′⊥PD，①求线段AP的长度；②求sin∠QD′D．

Answer 1

分析 （1）根据题意作出图形即可；
（2）由（1）知，PD=PD′，根据余角的性质得到∠ADP=∠BPD′，根据全等三角形的性质得到AD=PB=4，得到AP=2；根据勾股定理得到PD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{P}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，CD′=$\sqrt{DD{′}^{2}-C{D}^{2}}$=2，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：（1）连接PD，以P为圆心，PD为半径画弧交BC于D′，
过P作DD′的垂线交CD于Q，
则直线PQ即为所求；
（2）由（1）知，PD=PD′，
∵PD′⊥PD，
∴∠DPD′=90°，
∵∠A=90°，
∴∠ADP+∠APD=∠APD+∠BPD′=90°，
∴∠ADP=∠BPD′，
在△ADP与△BPD′中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B=90°}\\{∠ADP=∠BPD′}\\{PD=PD′}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△BPD′，
∴AD=PB=4，
∵PB=AB-AP=6-AP=4，
∴AP=2；
∴PD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{P}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵PD=PD′，PD⊥PD′，
∵DD′=$\sqrt{2}$PD=2$\sqrt{10}$，
∴CD′=$\sqrt{DD{′}^{2}-C{D}^{2}}$=2，
∴sin∠QD′D=sin∠QDD′=$\frac{CD′}{DD′}$=$\frac{2}{2\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了作图-轴对称变换，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．