Question

13．定义：对于平面直角坐标系中的任意直线MN及点P，取直线MN上一点Q，线段PQ与直线MN成30°角的长度称为点P到直线MN的30°角的距离，记作d（P→MN）．
已知O为坐标原点，A（4，0），B（3，3）是平面直角坐标系中两点．根据上述定义，解答下列问题：
（1）点A到直线OB的30°角的距离d（A→OB）=4$\sqrt{2}$；
（2）已知点G到线段OB的30°角的距离d（G→OB）=2，且点G的横坐标为1，则点G的纵坐标为1+$\sqrt{2}$或1-$\sqrt{2}$．．
（3）若点A到直线l：y=kx+1的30°角的距离d（A→l）=4，求k的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作AF⊥OB于F，在OB上取一点E，使得∠AEF=30°，则d（A→OB）=AE．求出AE的长即可解决问题；
（2）如图2中，作GF⊥OB于F，∠GEO=30°，GE=2，推出FG=$\frac{1}{2}$EG=1，设直线x=1与直线OB交于点H，与x轴交于M，求出GM的值即可，同法可得G′的坐标；
（3）如图3中，作AF⊥直线l：y=kx+1于F，直线l交x轴于H，交y轴于G，设H（m，0），由△HOG∽△HFA，可得$\frac{OG}{AF}$=$\frac{HG}{AH}$，列出方程即可解决问题，同法可得当G在直线OB下方时G′（1，1-$\sqrt{2}$）；

解答 解：（1）如图1中，作AF⊥OB于F，在OB上取一点E，使得∠AEF=30°，则d（A→OB）=AE．

∵B（3，3），
∴∠AOF=∠OAF=45°，
∵OA=4，
∴AF=OF=2$\sqrt{2}$，
在Rt△AEF中，AE=2AF=4$\sqrt{2}$．
故答案为4$\sqrt{2}$．

（2）如图2中，作GF⊥OB于F，∠GEO=30°，GE=2，

∴FG=$\frac{1}{2}$EG=1，
设直线x=1与直线OB交于点H，与x轴交于M，
∵∠GHF=∠HGF=45°，OM=HM=1，GF=HF=1，
∴GH=$\sqrt{2}$，
∴G（1，1+$\sqrt{2}$），
当G在直线OB下方时，同法可得G′（1，1-$\sqrt{2}$），
故答案为1+$\sqrt{2}$或1-$\sqrt{2}$．

（3）如图3中，作AF⊥直线l：y=kx+1于F，直线l交x轴于H，交y轴于G，设H（m，0），

易知OG=1，AE=4，AF=2，OA=4，
由△HOG∽△HFA，
∴$\frac{OG}{AF}$=$\frac{HG}{AH}$，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{1+{m}^{2}}}{4-m}$
解得m=$\frac{-2\sqrt{13}-4}{3}$或$\frac{-2\sqrt{13}+4}{3}$（舍弃），
∴H（$\frac{-2\sqrt{13}-4}{3}$，0），代入y=kx+1，得到k=$\frac{3}{2\sqrt{13}+4}$=$\frac{2\sqrt{13}-4}{12}$=$\frac{\sqrt{13}-2}{6}$，
当直线l经过一、二、四象限如图所示，同法可得k=-$\frac{3}{-4+2\sqrt{13}}$=-$\frac{\sqrt{13}+2}{6}$．

点评 本题考查一次函数综合题．直角三角形30度角性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．