Question

5．如图，点C是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＜0）图象上的一点，点C的坐标为（4，k+3）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）若一次函数y=ax+3的图象经过点C，交双曲线的另一支于点A，求点A的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PAC的面积为10？如果存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把C（4，k+3）代入y=$\frac{k}{x}$解方程即可得到结论；
（2）把C（4，-1）代入y=ax+3得到y=-x+3，解方程组即可得到结论；
（3）根据△PAC的面积为10，列方程$\frac{1}{2}$|x-3|×4+$\frac{1}{2}$|x-3|×1=10，即可得到结论．

解答 解：（1）把C（4，k+3）代入y=$\frac{k}{x}$得k+3=$\frac{k}{4}$，解得：k=-4，
∴反比例函数解析式为：y=-$\frac{4}{x}$；

（2）把C（4，-1）代入y=ax+3得-1=4a+3，解得a=-1，
∴y=-x+3，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{x}}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴A（-1，4）；

（3）存在，设P（x，0），直线AC与x轴的交点为M，
∴M（3，0），
∵△PAC的面积为10，
∴$\frac{1}{2}$|x-3|×4+$\frac{1}{2}$|x-3|×1=10，
∴x=-1，或x=7，
∴P（-1，0），（7，0）．
故存在点P，使得△PAC的面积为10．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数图象的交点问题，反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，三角形的面积是$\frac{1}{2}$|k|．