如果抛物线的顶点C1在抛物线C2上.同时.抛物线C2的顶点在抛物线C1上.那么我们称抛物线C1与C2互相关联．(1)已知抛物线①y=x2+2x-1.则抛物线②y=-x2+2x+1,③y=x2+2x+1已知抛物线①互相关联的有②．(2)如图所示的是抛物线C1:y=$\frac{1}{8}$(x+1)2-2.将抛物线C1绕点P(t.2)旋转180°得到抛物线C2.若抛物线C1与C2� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

如果抛物线的顶点C₁在抛物线C₂上，同时，抛物线C₂的顶点在抛物线C₁上，那么我们称抛物线C₁与C₂互相关联．
（1）已知抛物线①y=x²+2x-1，则抛物线②y=-x²+2x+1；③y=x²+2x+1已知抛物线①互相关联的有②（填序号即可）．
（2）如图所示的是抛物线C₁：y=$\frac{1}{8}$（x+1）²-2，将抛物线C₁绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C₂，若抛物线C₁与C₂关联．
①求抛物线C₂的解析式．
②当t＜0时，若点A为抛物线C₁的顶点，点B为抛物线C₂的顶点，在y轴上是否存在点C，使△ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）首先求出抛物线①的顶点坐标，代入抛物线②、③中进行验证，然后再求得抛物线②、③的顶点坐标代入①中进行验证，根据定义的抛物线关联条件即可进行判断．
（2）①根据新定义，若抛物线C₁、C₂关联，它们的顶点坐标在对方的函数图象上；抛物线C₁绕点P旋转180°后，所得C₂的顶点与抛物线C₁的顶点关于点P对称，显然它们的纵坐标到直线y=2的距离相等（点P在直线y=2上），可据此求出抛物线C₂的顶点纵坐标，代入抛物线C₁的解析式后即可求出抛物线C₂的顶点，将C₂的解析式设为顶点式，再将C₁的顶点坐标代入其中即可确定抛物线C₂的解析式．
②根据相似三角形的判定与性质，可得答案．

解答解：（1）∵抛物线①y=x²+2x-1=（x+1）²-2，其顶点坐标为M（-1，-2）．
经验算，点M在抛物线②上，不在抛物线③上，所以，抛物线①与抛物线③不是关联的；
抛物线②y=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，其顶点坐标为N₁（1，2），
经验算点N₁在抛物线①上，所以抛物线①、②是关联的，物线①与抛物线③不是关联的，
故答案为：②．

（2）①如图，
抛物线C₁：y=$\frac{1}{8}$（x+1）²-2，的顶点M的坐标为（-1，-2），
因为动点P的坐标为（t，2），所以点P在直线y=2上，
作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E、F，则ME=NF=4，所以点N的纵坐标为6．
当y=6时，$\frac{1}{8}$（x+1）²-2=6，解之得，x₁=7，x₂=-9．
∴N（7，6）或N（-9，6）．
设抛物线C₂的抛物线为y=a（x-7）²+6．
因为点M（-1，-2）在抛物线C₂上，
∴-2=a（-1-7）²+6，a=-$\frac{1}{8}$．
∴抛物线C₂的解析式为y=-$\frac{1}{8}$（x-7）²+6；
设抛物线C₂的抛物线为y=a（x+9）²+6．
因为点M（-1，-2）在抛物线C₂上，
∴-2=a（-1+9）²+6，a=-$\frac{1}{8}$．
∴抛物线C₂的解析式为y=-$\frac{1}{8}$（x-7）²+6或y=-$\frac{1}{8}$（x+9）²+6；
②存在点C，使△ABC是以AB为斜边的直角三角形，理由如下：
如图1，
当t＜0时，A（-1，-2），B（-9，6），点C为y轴上的点，可设点C的坐标为（0，c），
过点B作BE⊥y轴，过点A作AF⊥y轴，
若∠ACB=90°，则∠BCE+∠CBE=∠BCE+∠ACF=90°，
∴∠CBE=∠ACF，又∵∠BEC=∠CFA=90°，
∴△BCE∽△CAF，
∴$\frac{CE}{AF}$=$\frac{BE}{CF}$，即$\frac{6-c}{1}$=$\frac{9}{c+2}$，
解得c₁=2+$\sqrt{7}$，c₂=2-$\sqrt{7}$，
∴存在点C，使△ABC是以AB为斜边的直角三角形，此时C（0，2+$\sqrt{7}$）或（0，2-$\sqrt{7}$）．