Question

11．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A（-1，4），直线y=-x+b（b≠0）与双曲线y=$\frac{k}{x}$在第二、四象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点．
（1）求k的值；
（2）当b=-2时，求△OCD的面积；
（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S_△ODQ=S_△OCD？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得k=-4；
（2）当b=-2时，直线解析式为y=-x-2，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出C（-2，0），D（0，-2），然后根据三角形面积公式求解；
（3）先表示出C（b，0），根据三角形面积公式，由于S_△ODQ=S_△OCD，所以点Q和点C到OD的距离相等，则Q的横坐标为（-b，0），利用直线解析式可得到Q（-b，2b），再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得到-b•2b=-4，然后解方程即可得到满足条件的b的值．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A（-1，4），
∴k=-1×4=-4；
（2）当b=-2时，直线解析式为y=-x-2，
∵y=0时，-x-2=0，解得x=-2，
∴C（-2，0），
∵当x=0时，y=-x-2=-2，
∴D（0，-2），
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$×2×2=2；
（3）存在．
当y=0时，-x+b=0，解得x=b，则C（b，0），
∵S_△ODQ=S_△OCD，
∴点Q和点C到OD的距离相等，
而Q点在第四象限，
∴Q的横坐标为-b，
当x=-b时，y=-x+b=2b，则Q（-b，2b），
∵点Q在反比例函数y=-$\frac{4}{x}$的图象上，
∴-b•2b=-4，解得b=-$\sqrt{2}$或b=$\sqrt{2}$（舍去），
∴b的值为-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式．