Question

6．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：
（1）△ACE≌△BCD；
（2）$\frac{AG}{GC}$=$\frac{AF}{FE}$．

Answer 1

分析 （1）由三角形ABC与三角形CDE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，一对角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证；
（2）由（1）得出的三角形全等得到对应角相等，再由一对角相等，且夹边相等，利用ASA得到三角形GCD与三角形FCE全等，利用全等三角形对应边相等得到CG=CF，进而确定出三角形CFG为等边三角形，确定出一对内错角相等，进而得到GF与CE平行，利用平行线等分线段成比例即可得证．

解答 证明：（1）∵△ABC与△CDE都为等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
（2）∵△ACE≌△BCD，
∴∠BDC=∠AEC，
在△GCD和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GCD=∠FCE=60°}\\{CD=CE}\\{∠BDC=∠AEC}\end{array}\right.$，
∴△GCD≌△FCE（ASA），
∴CG=CF，
∴△CFG为等边三角形，
∴∠CGF=∠ACB=60°，
∴GF∥CE，
∴$\frac{AG}{GC}$=$\frac{AF}{FE}$．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．