题目内容
【题目】如图1，给定一个正方形，要通过画线将其分割成若干个互不重叠的正方形．第1次画线分割成4个互不重叠的正方形，得到图2；第2次画线分割成7个互不重叠的正方形，得到图3……以后每次只在上次得到图形的左上角的正方形中画线．
尝试：第3次画线后，分割成 个互不重叠的正方形；
第4次画线后，分割成 个互不重叠的正方形．
发现：第n次画线后，分割成 个互不重叠的正方形；并求第2020次画线后得到互不重叠的正方形的个数．
探究：若干次画线后，能否得到1001个互不重叠的正方形？若能，求出是第几次画线后得到的；若不能，请说明理由．
【答案】尝试：10，13；发现：(3n＋1)，6061；探究：不能，理由见解析．
【解析】
尝试：利用前几次发现的规律：1×4-0，2×4-1，3×4-2，…解答即可；
发现：由“尝试”的规律，写出经过n次分割后的式子，整理即可，把n=2020代入整理后的式子中即可求解；
探究：利用“发现”中的式子建立方程即可解决问题．
尝试：第一次1×4-0=4张，
第二次2×4-1=7张，
第三次3×4-2=10张，
第四次4×4-3=13张；
故答案为：10， 13；
发现：由“尝试”可知经过
次分割后，共得到
张纸片；
当n=2020时，3n+1=6061，
即第2020次画线后得到互不重叠的正方形的个数是6061，
故答案为：(3n+1)，6061；
探究：不能．
设每次画线后得到互不重叠的正方形的个数为m，则m=3n+1．
若m=1001，则1001=3n+1．解得
．
这个数不是整数，所以不能．
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