Question

11．（1）如图1，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE，求证：∠A=∠D．
（2）如图2，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，求∠ADP的度数．

Answer 1

分析 （1）由∠ACD=∠BCE可得出∠DCE=∠ACB，结合全等三角形的判定定理SAS即可证出△DCE≌△ACB，由此即可得出结论；
（2）连接OD，由圆内接四边形对角互补可得出∠BAD=60°，由此可知△OAD为等边三角形，再根据切线的性质以及角的计算即可得出结论．

解答 （1）证明：∵∠ACD=∠BCE，
∴∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB=∠ACB，
在△DCE和△ACB中，有$\left\{\begin{array}{l}{DC=AC}\\{∠DCE=∠ACB}\\{BC=EC}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△ACB（SAS），
∴∠A=∠D．
（2）解：连接OD，如图所示．

∵在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=120°，
∴∠BAD=180°-∠BCD=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠ADO=60°．
∵PD为⊙O的切线，D为切点，
∴∠PDO=90°，
∴∠ADP=∠PDO-∠ADO=30°．

点评 本题考查了切线的性质、圆内接四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）证出△DCE≌△ACB；（2）找出△OAD为等边三角形．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出相等的边角关系证出三角形全等是关键．