Question

8．已知平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（2，-3）、（4，-1）
（1）若P（x，0）是x轴上的一个动点，当△PAB的周长最短时，求x的值；
（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，当四边形ABDC的周长最短时，求a的值．

Answer 1

分析 （1）先作出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，再用待定系数法求出过AB′两点的一次函数解析式，求出此函数与x轴的交点坐标即可；
（2）作点A关于x轴的对称点A′，则A′的坐标为（2，3），把A′向右平移3个单位得到点B'（5，3），连接BB′，与x轴交于点D，易得四边形A′B′DC为平行四边形，得到CA′=DB′=CA，则AC+BD=BB′，根据两点之间线段最短得到此时AC+BD最小，即四边形ABDC的周长最短．然后用待定系数法求出直线BB′的解析式y=4x-17，易得D点坐标为（$\frac{17}{4}$，0），则有a+3=$\frac{17}{4}$，即可求出a的值．

解答 解：（1）如图1先作出B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，则B′点坐标为（4，1），
由两点之间线段最短可知，AB′的长即为△PAB的最短周长，
设过AB′两点的一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），
则$\left\{\begin{array}{l}{1=4k+b}\\{-3=2k+b}\end{array}\right.$，解得k=2，b=-7，
故此一次函数的解析式为y=2x-7，
当y=0时，2x-7=0，解得x=3.5．
故当x=3.5时，△PAB的周长最短．

（2）作点A关于x轴的对称点A′，则A′的坐标为（2，3），把A′向右平移3个单位得到点B'（5，3），连接BB′，与x轴交于点D，如图，
∴CA′=CA，
又∵C（a，0），D（a+3，0），
∴CD=3，
∴A′B′∥CD，
∴四边形A′B′DC为平行四边形，
∴CA′=DB′，
∴CA=DB′，
∴AC+BD=BB′，此时AC+BD最小，
而CD与AB的长一定，
∴此时四边形ABDC的周长最短．
设直线BB′的解析式为y=kx+b，
把B（4，-1）、B'（5，3）分别代入得，
4k+b=-1，5k+b=3，
解得k=4，b=-17，
∴直线BB′的解析式为y=4x-17，
令y=0，则4x-17=0，
解得x=$\frac{17}{4}$，∴D点坐标为（$\frac{17}{4}$，0），
∴a+3=$\frac{17}{4}$，
∴a=$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间线段最短解决问题．也考查了坐标变换以及待定系数法求一次函数的解析式．