题目内容
△ABC中，∠A=90°，∠A的平分线AD交BC于D，DB=3，DC=4，则△ABC内切圆的直径是（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
考点：三角形的内切圆与内心
专题：
分析：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，得出四边形DEAF是矩形，推出AE=ED，得出四边形DEAF是正方形，推出DE=AE=AF=DF，设DE=AE=AF=DF=a，根据△BED∽△DFC，求出BE=
a，CF=
a，在Rt△BAC中，由勾股定理得出（a+
a）2+（a+
a）2=（3+4）2，求出a=
，求出AB=
，AC=
，设直角三角形ABC的内切圆的半径是R，根据S△ABC=S△AOC+S△ABO+S△BCO，得出
×
=
R+
R+7R，求出R即可．
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
| 12 |
| 5 |
| 21 |
| 5 |
| 28 |
| 5 |
| 21 |
| 5 |
| 28 |
| 5 |
| 28 |
| 5 |
| 21 |
| 5 |
解答：
解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵∠BAC=90°，
∴∠AED=∠BAC=∠DFA=90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∴DE∥AC，DE=AF，
∠EDA=∠DAC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=ED，
即四边形DEAF是正方形，
∴DE=AE=AF=DF，
设DE=AE=AF=DF=a，
∵DE∥AC，
∴∠C=∠BDE，
∵∠BED=∠DFC=90°，
∴△BED∽△DFC，
∴
=
=
，
∴
=
=
，
∴BE=
a，CF=
a，
在Rt△BAC中，由勾股定理得：AB2+AC2=BC2，
即（a+
a）2+（a+
a）2=（3+4）2，
a=
，
则AB=
，AC=
，
设直角三角形ABC的内切圆的半径是R，
∵S△ABC=S△AOC+S△ABO+S△BCO，
∴
AC×AB=
AC×R+
BC×R+
AB×R，
∴
×
=
R+
R+7R，
R=
，
即直角三角形ABC的内切圆的直径是
，
故选B．
解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵∠BAC=90°，
∴∠AED=∠BAC=∠DFA=90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∴DE∥AC，DE=AF，
∠EDA=∠DAC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=ED，
即四边形DEAF是正方形，
∴DE=AE=AF=DF，
设DE=AE=AF=DF=a，
∵DE∥AC，
∴∠C=∠BDE，
∵∠BED=∠DFC=90°，
∴△BED∽△DFC，
∴
| BE |
| DF |
| DE |
| CF |
| BD |
| DC |
∴
| BE |
| a |
| a |
| CF |
| 3 |
| 4 |
∴BE=
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
在Rt△BAC中，由勾股定理得：AB2+AC2=BC2，
即（a+
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
a=
| 12 |
| 5 |
则AB=
| 21 |
| 5 |
| 28 |
| 5 |
设直角三角形ABC的内切圆的半径是R，
∵S△ABC=S△AOC+S△ABO+S△BCO，
∴
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| 21 |
| 5 |
| 28 |
| 5 |
| 28 |
| 5 |
| 21 |
| 5 |
R=
| 7 |
| 5 |
即直角三角形ABC的内切圆的直径是
| 14 |
| 5 |
故选B．
点评：本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，三角形的内切圆，三角形的面积，勾股定理等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度．
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