题目内容
类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．
（2）在探究“等对角四边形”性质时：
①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；
②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．
（3）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．
考点：四边形综合题
专题：几何综合题,压轴题,新定义
分析：（1）利用“等对角四边形”这个概念来计算．
（2）①利用等边对等角和等角对等边来证明；
②举例画图；
（3）（Ⅰ）当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，利用勾股定理求解；
（Ⅱ）当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，求出线段利用勾股定理求解．
（2）①利用等边对等角和等角对等边来证明；
②举例画图；
（3）（Ⅰ）当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，利用勾股定理求解；
（Ⅱ）当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，求出线段利用勾股定理求解．
解答：解：（1）如图1
∵等对角四边形ABCD，∠A≠∠C，
∴∠D=∠B=80°，
∴∠C=360°-70°-80°-80°=130°；
（2）①如图2，连接BD，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
②不正确，
反例：如图3，∠A=∠C=90°，AB=AD，
但CB≠CD，
（3）（Ⅰ）如图4，当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，
∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，
∴AE=10，
∴DE=AE-AD=10-4=6，
∵∠EDC=90°，∠E=30°，
∴CD=2
，
∴AC=
=
=2
（Ⅱ）如图5，当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∵DE⊥AB，∠DAB=60°AD=4，
∴AE=2，DE=2
，
∴BE=AB-AE=5-2=3，
∵四边形BFDE是矩形，
∴DF=BE=3，BF=DE=2
，
∵∠BCD=60°，
∴CF=
，
∴BC=CF+BF=
+2
=3
，
∴AC=
=
=2
．
∵等对角四边形ABCD，∠A≠∠C，
∴∠D=∠B=80°，
∴∠C=360°-70°-80°-80°=130°；
（2）①如图2，连接BD，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
②不正确，
反例：如图3，∠A=∠C=90°，AB=AD，
但CB≠CD，
（3）（Ⅰ）如图4，当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，
∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，
∴AE=10，
∴DE=AE-AD=10-4=6，
∵∠EDC=90°，∠E=30°，
∴CD=2
| 3 |
∴AC=
| AD2+CD2 |
42+(2
|
| 7 |
（Ⅱ）如图5，当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∵DE⊥AB，∠DAB=60°AD=4，
∴AE=2，DE=2
| 3 |
∴BE=AB-AE=5-2=3，
∵四边形BFDE是矩形，
∴DF=BE=3，BF=DE=2
| 3 |
∵∠BCD=60°，
∴CF=
| 3 |
∴BC=CF+BF=
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴AC=
| AB2+BC2 |
52+(3
|
| 13 |
点评：本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是理解并能运用“等对角四边形”这个概念．
练习册系列答案
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