Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（-2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题,待定系数法求一次函数解析式,平行四边形的判定

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）先把C（0，4）代入y=ax²+bx+c，得出c=4①，再由抛物线的对称轴x=-

b

2a

=1，得到b=-2a②，抛物线过点A（-2，0），得到0=4a-2b+c③，然后由①②③可解得，a=-

1

2

，b=1，c=4，即可求出抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+x+4；
（2）假设存在满足条件的点F，连结BF、CF、OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G．设点F的坐标为（t，-

1

2

t²+t+4），则FH=-

1

2

t²+t+4，FG=t，先根据三角形的面积公式求出S_△OBF=

1

2

OB•FH=-t²+2t+8，S_△OFC=

1

2

OC•FG=2t，再由S_{四边形ABFC}=S_△AOC+S_△OBF+S_△OFC，得到S_{四边形ABFC}=-t²+4t+12．令-t²+4t+12=17，即t²-4t+5=0，由△=（-4）²-4×5=-4＜0，得出方程t²-4t+5=0无解，即不存在满足条件的点F；
（3）先运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x+4，再求出抛物线y=-

1

2

x²+x+4的顶点D（1，

9

2

），由点E在直线BC上，得到点E（1，3），于是DE=

9

2

-3=

3

2

．若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE=PQ，设点P的坐标是（m，-m+4），则点Q的坐标是（m，-

1

2

m²+m+4）．分两种情况进行讨论：①当0＜m＜4时，PQ=（-

1

2

m²+m+4）-（-m+4）=-

1

2

m²+2m，解方程-

1

2

m²+2m=

3

2

，求出m的值，得到P₁（3，1）；②当m＜0或m＞4时，PQ=（-m+4）-（-

1

2

m²+m+4）=

1

2

m²-2m，解方程

1

2

m²-2m=

3

2

，求出m的值，得到P₂（2+

7

，2-

7

），P₃（2-

7

，2+

7

）．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过点C（0，4），
∴c=4 ①．
∵对称轴x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a ②．
∵抛物线过点A（-2，0），
∴0=4a-2b+c ③，
由①②③解得，a=-

1

2

，b=1，c=4，
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+x+4；

（2）假设存在满足条件的点F，如图所示，连结BF、CF、OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G．
设点F的坐标为（t，-

1

2

t²+t+4），其中0＜t＜4，
则FH=-

1

2

t²+t+4，FG=t，
∴S_△OBF=

1

2

OB•FH=

1

2

×4×（-

1

2

t²+t+4）=-t²+2t+8，
S_△OFC=

1

2

OC•FG=

1

2

×4×t=2t，
∴S_{四边形ABFC}=S_△AOC+S_△OBF+S_△OFC=4-t²+2t+8+2t=-t²+4t+12．
令-t²+4t+12=17，
即t²-4t+5=0，
则△=（-4）²-4×5=-4＜0，
∴方程t²-4t+5=0无解，
故不存在满足条件的点F；

（3）设直线BC的解析式为y=kx+n（k≠0），
∵B（4，0），C（0，4），
∴

n=4 4k+n=0

，
解得

k=-1 n=4

，
∴直线BC的解析式为y=-x+4．
由y=-

1

2

x²+x+4=-

1

2

（x-1）²+

9

2

，
∴顶点D（1，

9

2

），
又点E在直线BC上，则点E（1，3），
于是DE=

9

2

-3=

3

2

．
若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE=PQ，
设点P的坐标是（m，-m+4），则点Q的坐标是（m，-

1

2

m²+m+4）．
①当0＜m＜4时，PQ=（-

1

2

m²+m+4）-（-m+4）=-

1

2

m²+2m，
由-

1

2

m²+2m=

3

2

，
解得：m=1或3．
当m=1时，线段PQ与DE重合，m=1舍去，
∴m=3，P₁（3，1）．
②当m＜0或m＞4时，PQ=（-m+4）-（-

1

2

m²+m+4）=

1

2

m²-2m，
由

1

2

m²-2m=

3

2

，
解得m=2±

7

，经检验适合题意，
此时P₂（2+

7

，2-

7

），P₃（2-

7

，2+

7

）．
综上所述，满足题意的点P有三个，分别是P₁（3，1），P₂（2+

7

，2-

7

），P₃（2-

7

，2+

7

）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，四边形的面积，平行四边形的判定等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．