Question

菱形与正方形的形状有差异，我们将菱形与正方形的接近程度记为“接近度”．设菱形相邻的两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形与正方形的“接近度”定义为|m-n|．在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+

3

bx+c（b＜0）交y轴于点A（与原点O不同），以AO为边作菱形OAPQ．
（1）当c=-

3

b时，抛物线上是否存在点P，使菱形OAPQ与正方形的“接近度”为0，请说明理由．
（2）当c＞0时，对于任意的b，抛物线y=x²+

3

bx+c上是否存在点P，满足菱形OAPQ与正方形的“接近度”为60？若存在，请求出所有满足条件的b与c的关系式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）表示出点A的坐标，再根据正方形的四条边都相等且每一个角都是直角取点P的坐标，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行验证即可；
（2）根据“接近度”的定义求出m、n的值，然后分点P在y轴右侧时，∠OAP=120°和∠OAP=60°两种情况求出点P的坐标，再代入抛物线解析式求出b、c的关系式，然后根据b＜0求出c的取值范围，进行验证即可；点P在y轴左侧时，只有∠OAP=120°，表示出点P的坐标，再代入抛物线解析式得到b、c的关系式，然后根据b＜0求出c的取值范围，再进行验证．

解答：（1）解：（1）存在．
当c=-

3

b时，点A的坐标为（0，-

3

b），
取P（-

3

b，-

3

b），
当x=-

3

b时，y=（-

3

b）²+

3

b×（-

3

b）-

3

b=-

3

b，
故点P在抛物线上，且OA=AP，OA⊥P，
∴m=n=90，
∴抛物线上存在点P，使菱形OAPQ与正方形的“接近度”为0；

（2）解：∵菱形OAPQ与正方形的“接近度”为60，
∴|m-n|=60，
又∵m+n=180，
∴m=120，n=60或m=60，n=120，
当P在y轴右侧时：①当∠OAP=120°时，P₁（

3

2

c，

3

2

c）且在y=x²+

3

bx+c上，
∴（

3

2

c）²+

3

b×

3

2

c+c=

3

2

c，
∴b=

1

3

-

1

2

c，
∵b＜0，
∴

1

3

-

1

2

c＜0，
解得c＞

2

3

，
即当c＞

2

3

时，b与c的关系式为b=

1

3

-

1

2

c；
②当∠OAP=60°时，P₂（

3

2

c，

1

2

c），且在y=x²+

3

bx+c上，
∴（

3

2

c）²+

3

b×

3

2

c+c=

1

2

c，
∴b=-

1

3

-

1

2

c，
∵b＜0，
∴-

1

3

-

1

2

c＜0，
解得c＞-

2

3

，
举例：当b=-

1

6

时，c=-

1

3

＜0，不满足对任意b，c＞0，不符合题意；
当P在y轴左侧时：只可能存在∠OAP=120°，P₃（-

3

2

c，

3

2

c）且在y=x²+

3

bx+c上，
∴（-

3

2

c）²+

3

b×（-

3

2

c）+c=

3

2

c，
∴b=

1

2

c-

1

3

，
∵b＜0，
∴

1

2

c-

1

3

＜0，
解得c＜

2

3

，
举例：当b=-1时，c=-

4

3

，不满足对任意b，c＞0，不符合题意；
综上所述，b与c的关系式为b=

1

3

-

1

2

c．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了正方形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，难点在于（2）分情况讨论并根据b是负数求出c必须是正数关系式才成立．