Question

7．如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．
（1）求证：∠ABD=2∠BDC；
（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，求证：EA=EC；
（3）在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长

Answer 1

分析 （1）如图1，设∠BDC=α，∠DAC=β，根据圆周角定理得到∠CAB=∠BDC=α，连接AD，由AB为⊙O直径，得到∠ADB=90°，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠ACE=∠ADC，等量代换得到∠ACE=∠CAE，于是得到结论；
（3）如图2，连接OC，根据圆周角定理得到∠COB=2∠CAB，等量代换得到∠COB=∠ABD，根据相似三角形的性质得到OH=5，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=26，由相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，设∠BDC=α，∠DAC=β，
则∠CAB=∠BDC=α，
∵点C为弧ABD中点，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠ADC=∠DAC=β，
∴∠DAB=β-α，
连接AD，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴α+β=90°，
∴β=90°-α，
∴∠ABD=90°-∠DAB=90°-（β-α），
∴∠ABD=2α，
∴∠ABD=2∠BDC；
（2）∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAB=∠ADC+∠BDC=90°，
∵∠CAB=∠CDB，
∴∠ACE=∠ADC，
∵∠CAE=∠ADC，
∴∠ACE=∠CAE，
∴AE=CE；
（3）如图2，连接OC，
∴∠COB=2∠CAB，
∵∠ABD=2∠BDC，∠BDC=∠CAB，
∴∠COB=∠ABD，
∵∠OHC=∠ADB=90°，
∴△OCH∽△ABD，
∴$\frac{OH}{BD}=\frac{OC}{AB}=\frac{1}{2}$，
∵OH=5，
∴BD=10，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=26，
∴AO=13，
∴AH=18，
∵△AHE∽△ADB，
∴$\frac{AH}{AD}=\frac{AE}{AB}$，即$\frac{18}{24}$=$\frac{AE}{26}$，
∴AE=$\frac{39}{2}$，
∴DE=$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．