Question

3．如图，?ABCD中，BC=2AB，E为AD中点，过点C作CF⊥AB于点F，垂足F落在线段AB上，连结FE并延长与CD的延长线交于点G，则下列结论：①CE平分∠BCG；②CE=EF；③∠DEF=3∠AFE；④当AF=BF时，S_△BCF=S_△CEF，正确的有（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①正确．只要证明∠DEC=∠DCE，∠DCE=∠ECB即可解决问题．
②正确．只要证明△AEF≌△DEG，推出EF=EG，再根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题．
③正确．只要证明∠CED=∠ECD=∠G=∠AFE，∠FEC=2∠G即可解决问题．
④错误，只要证明S_△BCF=$\frac{1}{4}$S_{平行四边形ABCD}，S_△EFC=$\frac{1}{2}$S_△FCG=$\frac{1}{2}$S_{四边形AFCD}=$\frac{3}{8}$S_{平行四边形ABCD}，推出S_△BCF≠S_△CEF．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，
∴∠DEC=∠BCE，∠A=∠EDG，
∵AE=ED，AD=2CD，
∴DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
∴∠DCE=∠ECB，
∴EC平分∠BCD，故①正确．
在△AEF和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=ED}\\{∠AEF=∠DEG}\\{∠A=∠EDG}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEG，
∴EF=EG，
∵CF⊥AB，AB∥CD，
∴CF⊥CG，
∴∠FCG=90°，
∴CE=EF=FG，故②正确．
∵EC=EG，
∴∠G=ECG=∠AFE=∠CED，
∵∠FEC=∠G+∠ECG，
∴∠DEF=3∠AFE．故③正确，
∵AF=FB，
∴S_△BCF=$\frac{1}{4}$S_{平行四边形ABCD}，易知，S_△EFC=$\frac{1}{2}$S_△FCG=$\frac{1}{2}$S_{四边形AFCD}=$\frac{3}{8}$S_{平行四边形ABCD}，
∴S_△BCF≠S_△CEF，故④错误．
故选A．

点评 本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．