Question

15．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（-3，0），动点P从B出发以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，同时动点E从O出发以每秒1个单位的速度沿x轴负方向移动，点Q是点P关于点E的对称点，设点P运动时间是t秒．
（1）当P点在x轴正半轴上运动时，OP=2t-3，OQ=4t-3；（用含t的代数式表示）
（2）连结AP，AQ，是否存在t的值，使△PAQ是直角三角形，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）当P点在x轴正半轴上运动时，连结AP，点C是线段AP上的一点，且AC=$\frac{1}{4}$AP，连结OC，将△OAC沿OC所在的直线折叠得到△OCD，当△OCD与△OCP重叠部分的面积是△OCP面积的$\frac{1}{3}$时，t的取值范围是t≥$\frac{4\sqrt{3}+3}{2}$．（直接写出答案即可）

Answer 1

分析 （1）由于点P在x轴的正半轴，由P、E两点的速度即可求出BP与OE的长度，再有对称性即可求出OQ的长度；
（2）若△PAQ是直角三角形，则可能∠AQP=90°，∠APQ=90°，∠QAP=90°，然后三情况分别进行讨论求出t的值；
（3）由于AC=$\frac{1}{4}$AP，所以△OAC面积是△OCP面积的$\frac{1}{3}$，由于当△OCD与△OCP重叠部分的面积是△OCP面积的$\frac{1}{3}$，所以△OAC面积等于△OCD与△OCP重叠部分的面积，此时点D需要在线段AP上，或者在线段AP下方，所以只需要求出点D在AP上时，此时t的值即可求出t的范围．

解答 解：（1）由题意可知BP=2t，OE=t
设P的坐标为（x₁，0），Q的坐标为（x₂，0），
∵BP=x₁+3，
∴x₁=2t-3，
∴OP=2t-3
∵OE=t，
∴E的坐标为（-t，0），
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-t$，
∴x₂=-4t+3，
∴OQ=4t-3；

（2）由（1）可知：P（2t-3，0），E（-t，0），Q（-4t+3，0），
当∠AQP=90°时，
此时-4t+3=0，
∴t=$\frac{3}{4}$，
当∠APQ=90°时，
此时2t-3=0，
∴t=$\frac{3}{2}$，
当∠QAP=90°时，
此时P必在x轴的正半轴，
易证：△OQA∽△QAP，
∴OQ•OP=OA²
∴（2t-3）（4t-3）=16，
∴解得：t=$\frac{9±\sqrt{137}}{8}$
∵t＞0，
∴t=$\frac{9+\sqrt{137}}{8}$

（3）设△OAC面积等于△OCD与△OCP重叠部分的面积为S_阴，
∵AC=$\frac{1}{4}$AP，
∴S_△OAC=$\frac{1}{3}$S_△OCP，
∵S_阴=$\frac{1}{3}$S_△OCP，
∴S_阴=S_△OAC
此时点D只能在AP上或在AP的下方，
当点D在AP上时，
由于点A与D关于OC对称，
∴AC=CD，
∵AC=$\frac{1}{4}$AP，
∴D是AP的中点，
∴在Rt△AOP中，
OD是AP上的中线，
∴AP=2OD，
∵OA=OD=4，
∴AP=8，
由勾股定理可知：AP²=OA²+OP²，
∴t=$\frac{4\sqrt{3}+3}{2}$，
∴当△OCD与△OCP重叠部分的面积是△OCP面积的$\frac{1}{3}$时，
t≥$\frac{4\sqrt{3}+3}{2}$．

点评 本题考查图形变换，涉及到直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形判定，轴对称的性质等知识，综合程度较高，需要学生综合运用知识才能解决．