Question

2．如图，等腰△ABC中，AB=AC．
（1）操作（保留作图痕迹，不写作法）；
①以CA为直径作⊙O，交AB于M，交BC于N．
②过C点作⊙O的切线交AB的延长线于点P；
（2）在（1）中要求所作的图中，若BC=10，AC=13，求PC•AM的值．

Answer 1

分析 （1）作AC的垂直平分线得到AC的中点O，再以O点为圆心，OA为半径作圆交AB于M，交BC于N；然后过点C作PC⊥AC于C，交AB的延长线于点P，则PC为切线；
（2）连结AN、CM，如图，根据圆周角定理得到∠AMC=∠ANC=90°，则利用等腰三角形的性质得NB=NC=$\frac{1}{2}$BC=5，利用勾股定理可计算出AN=12，再利用面积法计算出CM=$\frac{120}{13}$，接着根据切线的性质得∠ACP=90°，然后证明Rt△AMC∽Rt△ACP后利用相似比可计算出PC•AM的值．

解答 解：（1）如图⊙O和切线PC为所作；

（2）连结AN、CM，如图，
∵CA为直径，
∴∠AMC=∠ANC=90°，
∵AB=AC，
∴NB=NC=$\frac{1}{2}$BC=5，
在Rt△ACN中，AN=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∵$\frac{1}{2}$CM•AB=$\frac{1}{2}$•AN•BC，
∴CM=$\frac{12×10}{13}$=$\frac{120}{13}$，
∵PC为切线，
∴AC⊥PC，
∴∠ACP=90°，
∵∠MAC=∠CAP，
∴Rt△AMC∽Rt△ACP，
∴CM：PC=AM：AC，即$\frac{120}{13}$：PC=AM：13，
∴PC•AM=$\frac{120}{13}$×13=120．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解决（2）小题的关键是证明Rt△AMC∽Rt△ACP后利用相似比求PC•AM的值．