手扶电梯的安全问题引起了广泛的关注.在制造电梯时.设计者首先考虑电梯的安全程度．如图1.虚线为电梯的斜度线.斜度线与地面的夹角为倾角θ.一般情况下.倾角越小.电梯的安全程度越高．如图2.设计者为了提高电梯的安全程度.要把电梯的倾角θ1减至θ2.这样电梯所占用地面的长度由d1增加到d2.已知d1=3米.θ1=40°.θ2=36°．(计算结果精确到0.01米.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．手扶电梯的安全问题引起了广泛的关注，在制造电梯时，设计者首先考虑电梯的安全程度．如图1，虚线为电梯的斜度线，斜度线与地面的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角越小，电梯的安全程度越高．如图2，设计者为了提高电梯的安全程度，要把电梯的倾角θ₁减至θ₂，这样电梯所占用地面的长度由d₁增加到d₂，已知d₁=3米，θ₁=40°，θ₂=36°．（计算结果精确到0.01米，参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin36°≈0.588，cos36°≈0.809，tan36°≈0.727）

（1）电梯占用地面的长度增加了多少米？
（2）改造前人们乘坐电梯的时间约为8秒，若该高度的手扶电梯乘坐时间不宜超过10秒，则改造后的电梯是否需要提速？

分析（1）根据题意可以求得d2的长度，从而可以得到电梯占用地面的长度增加了多少米；
（2）根据题意可以求得电梯原来的速度，再根据改造后的电梯长度除以原来的速度，可以得到相应的时间，从而可以得到改造后的电梯是否需要提速．

解答解：（1）由题意可得，
d₁=3米，θ₁=40°，
∴AB=d₁•tan40°≈3×0.839=2.517m，
又∵θ₂=36°，
∴${d}_{2}=\frac{AB}{tan36°}≈\frac{2.517}{0.727}≈3.462$米，
∴电梯占用地面的长度增加的长度是：3.462-3=0.462≈0.46米，
即电梯占用地面的长度增加了0.46米；
（2）设点B到地面的距离为a，由题意可得，
电梯原来的速度是：$\frac{\frac{AB+a}{sin40°}}{8}=\frac{AB+a}{8sin40°}$，
按改造前的速度，后来用的时间为：$\frac{\frac{AB+a}{sin36°}}{\frac{AB+a}{8sin40°}}=\frac{8sin40°}{sin36°}≈\frac{8×0.643}{0.588}≈8.75$秒，
∵8.75＜10，
即改造后的电梯不需要提速．