Question

17．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足$（a+4{）^2}+\sqrt{b-4}=0$，过C作CB⊥x轴于B．

（1）求△ABC的面积．
（2）在y轴上是否存在点P，使得△ABC和△ACP的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠AED的度数．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质易得a=-4，b=4，然后根据三角形面积公式计算；
（2）分类讨论：设P（0，t），当P在y轴正半轴上时，过P作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，利用S_△APC=S_梯形MNAC-S_△ANP-S_△CMP=8可得到关于t的方程，再解方程求出t；
（3）过E作EF∥AC，根据平行线性质得BD∥AC∥EF，且∠3=$\frac{1}{2}$∠CAB=∠1，∠4=$\frac{1}{2}$∠ODB=∠2，所以∠AED=∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠ODB）；然后把∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90° 代入计算即可．

解答 解：（1）∵（a+4）²+$\sqrt{b-4}$=0，
∴a+4=0，b-4=0，
∴a=-4，b=4，
∵CB⊥AB
∴A（-4，0），B（4，0），C（4，2），
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×2×8=8；

（2）①当P在y轴正半轴上时，如图1，
设P（0，t），
过P作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，
∵S_△APC=S_梯形MNAC-S_△ANP-S_△CMP=8，
∴$\frac{1}{2}$×8×（t+t-2）-$\frac{1}{2}$×4t-$\frac{1}{2}$×4×（t-2）=8，
解得：t=3，
②当P在y轴负半轴上时，如图2，
∵S_△APC=S_梯形MNAC-S_△ANP-S_△CMP=8
∴$\frac{1}{2}$×8（-t+2-t）+$\frac{1}{2}$×4t-$\frac{1}{2}$×4（2-t）=8，
解得：t=-1，
∴P（0，-1）或（0，3）．

（3）∵CB∥y轴，BD∥AC，
∴∠CAB=∠5，∠ODB=∠6，∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90°，
过E作EF∥AC，如图3，
∵BD∥AC，
∴BD∥AC∥EF，
∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，
∴∠3=$\frac{1}{2}$∠CAB=∠1，∠4=$\frac{1}{2}$∠ODB=∠2，
∴∠AED=∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠ODB）=45°．

点评 本题考查了平行线的判定与性质：两直线平行，内错角相等．也考查了非负数的性质、坐标与图形性质以及三角形面积公式．