Question

9．开口向下的抛物线y=（m²-2）x²+2mx+1的对称轴经过点（-1，3）．
（1）求m的值；
（2）若此抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴方程即可求出m的两个值，再根据开口向下取舍即可；
（2）求出二次函数与x轴、y轴交点坐标，即可计算△ABC的面积．

解答 解：（1）由于抛物线y=（m²-2）x²+2mx+1的对称轴经过点（-1，3），
∴对称轴为直线x=-1，x=-$\frac{2m}{2（{m}^{2}-2）}$=-1，
解得m₁=-1，m₂=2．
由于抛物线的开口向下，所以当m=2时，m²-2=2＞0，不合题意，应舍去，
∴m=-1；
（2）∵m=-1，
∴y=-x²-2x+1，
令y=0，0=-x²-2x+1，
解得：x₁=-1-$\sqrt{2}$，x₂=-1+$\sqrt{2}$，
∴AB=2$\sqrt{2}$，
令x=0，y=1，
∴OC=1，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×1×2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了抛物线与坐标轴的交点以及待定系数法，根据抛物线的对称轴方程列出关于m的方程并根据二次函数性质取舍是解决问题的关键．